Sejam v_{1}=\left(x_{1}, y_{1}\right), v_{2}=\left(x_{2}, y_{2}\right) \in \mathbb{R}^{2}.Verifique quais das seguintes funções f: \mathbb{R}^{2} \times \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R} definem um produto interno:
f\left(v_{1}, v_{2}\right)=4 x_{1} x_{2}

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a aplicação
f\colon \mathbb{R}^2\times\mathbb{R}^2\to\mathbb{R},\quad f\bigl((x_1,y_1),(x_2,y_2)\bigr)=4x_1x_2
é um produto interno em \mathbb{R}^2. Para isso precisamos checar três propriedades: simetria, bilinearidade e positividade definida.

Passo 2

Verificação da simetria. Para quaisquer v_1=(x_1,y_1) e v_2=(x_2,y_2) temos
f(v_1,v_2)=4x_1x_2 \quad\text{e}\quad f(v_2,v_1)=4x_2x_1.
Como 4x_1x_2=4x_2x_1, concluímos que f(v_1,v_2)=f(v_2,v_1), ou seja, é simétrica.

Passo 3

Verificação da bilinearidade no primeiro argumento (e, pela simetria, também no segundo). Dados vetores u=(u_x,u_y), v=(v_x,v_y), w=(w_x,w_y) e escalares a,b\in\mathbb{R},
f(a\,u+b\,v,\;w) =4\bigl(a\,u_x+b\,v_x\bigr)w_x =a\underbrace{4u_xw_x}_{f(u,w)}+b\underbrace{4v_xw_x}_{f(v,w)} =a\,f(u,w)+b\,f(v,w).
Logo é linear em cada argumento.

Passo 4

Verificação da positividade definida. Para v=(x_1,y_1) temos
f(v,v)=4x_1^2\ge0.
Porém, se tomarmos v=(0,y_1) com y_1\neq0, então v\neq0 mas
f(v,v)=4\cdot0^2=0.
Isso viola a condição de positividade estrita (precisamos ter f(v,v)>0 sempre que v\neq0).

Resposta

A função f não define um produto interno em \mathbb{R}^2.

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