Sejam
A=\left[\begin{array}{cc} 1 & 2 \\\\ 0 & -1 \end{array}\right], \quad B=\left[\begin{array}{cc} -2 & 1 \\\\ 3 & 4 \end{array}\right], \quad C=\left[\begin{array}{cc} 0 & -3 \\\\ 2 & 1 \end{array}\right] .
Verifique, com cálculos, que:
(A+B)+C=A+(B+C) (associatividade)

Passo 1

O enunciado nos dá as matrizes
A = \begin{pmatrix}1 & 2 \\[6pt] 0 & -1\end{pmatrix},\quad B = \begin{pmatrix}-2 & 1 \\[6pt] 3 & 4\end{pmatrix},\quad C = \begin{pmatrix}0 & -3 \\[6pt] 2 & 1\end{pmatrix}
e pede para verificar a associatividade da soma de matrizes, isto é, mostrar que
(A + B) + C \;=\; A + (B + C).]

Passo 2

Vamos primeiro calcular A + B elemento a elemento:
A + B = \begin{pmatrix} 1 + (-2) & 2 + 1 \\[6pt] 0 + 3 & -1 + 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 3 \\[6pt] 3 & 3 \end{pmatrix}.]

Passo 3

Agora somamos C ao resultado de A + B:
(A + B) + C = \begin{pmatrix} -1 & 3 \\[6pt] 3 & 3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & -3 \\[6pt] 2 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 + 0 & 3 + (-3) \\[6pt] 3 + 2 & 3 + 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\[6pt] 5 & 4 \end{pmatrix}.]

Passo 4

Em seguida, calculamos B + C:
B + C = \begin{pmatrix} -2 & 1 \\[6pt] 3 & 4 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & -3 \\[6pt] 2 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 + 0 & 1 + (-3) \\[6pt] 3 + 2 & 4 + 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & -2 \\[6pt] 5 & 5 \end{pmatrix}.]

Passo 5

Agora somamos A ao resultado de B + C:
A + (B + C) = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\[6pt] 0 & -1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -2 & -2 \\[6pt] 5 & 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 + (-2) & 2 + (-2) \\[6pt] 0 + 5 & -1 + 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\[6pt] 5 & 4 \end{pmatrix}.]

Passo 6

Comparando os resultados obtidos em (A + B) + C e em A + (B + C), vemos que ambos são \displaystyle \begin{pmatrix}-1 & 0 \\[4pt] 5 & 4\end{pmatrix}. Portanto, a soma de matrizes é associativa.]

Resposta

De fato,
(A + B) + C \;=\; A + (B + C) \;=\; \begin{pmatrix} -1 & 0 \\[6pt] 5 & 4 \end{pmatrix},
o que confirma a associatividade.]

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