Sejam
A=\left[\begin{array}{ccc} 4 & -1 & 0 \\\\ 2 & 3 & 5 \end{array}\right], \quad B=\left[\begin{array}{ccc} 1 & 2 & -3 \\\\ -2 & 0 & 4 \end{array}\right] .
Encontre A+B e B+A e comprove que a adição é comutativa.

Passo 1

O enunciado nos dá duas matrizes A e B, ambas de ordem 2\times3, e pede para calcular a soma A+B e a soma B+A, usando a definição de adição de matrizes (elemento a elemento). Em seguida, queremos verificar que essas duas somas são iguais, mostrando a comutatividade da adição matricial.

Passo 2

Para calcular \,A+B, somamos cada entrada de A com a entrada correspondente de B. Temos
A = \begin{pmatrix} 4 & -1 & 0\\\\ 2 & 3 & 5 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -3\\\\ -2 & 0 & 4 \end{pmatrix}.
Logo,
A+B = \begin{pmatrix} 4+1 & (-1)+2 & 0+(-3)\\\\ 2+(-2) & 3+0 & 5+4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 & 1 & -3\\\\ 0 & 3 & 9 \end{pmatrix}.

Passo 3

Para calcular \,B+A, repetimos o mesmo procedimento (a comutatividade dos números garante o mesmo resultado em cada entrada):
B+A = \begin{pmatrix} 1+4 & 2+(-1) & (-3)+0\\\ (-2)+2 & 0+3 & 4+5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 & 1 & -3\\\\ 0 & 3 & 9 \end{pmatrix}.

Passo 4

Como ambas as somas resultaram na mesma matriz
\begin{pmatrix} 5 & 1 & -3\\\\ 0 & 3 & 9 \end{pmatrix},
concluímos que
A+B = B+A,
o que comprova a comutatividade da adição de matrizes.

Resposta

A+B = B+A = \displaystyle\begin{pmatrix}5 & 1 & -3 \\\\ 0 & 3 & 9\end{pmatrix}.

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