Sejam A=\left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & -2 \\\\ 5 & 2 & 2\end{array}\right], B=\left[\begin{array}{ccc}-1 & 0 & 2 \\\\ 2 & 0 & 2\end{array}\right], C=\left[\begin{array}{l}0 \\\\ 1 \\\\ 2\end{array}\right] e D=\left[\begin{array}{ll}5 & -1\end{array}\right] Encontre:
D \cdot A

Passo 1

O enunciado dá
A=\begin{pmatrix}1 & 0 & -2 \\[6pt]5 & 2 & 2\end{pmatrix}\in\mathbb{R}^{2\times3} \quad\text{e}\quad D=\begin{pmatrix}5 & -1\end{pmatrix}\in\mathbb{R}^{1\times2},
e pede o produto D\cdot A. Esse produto faz sentido porque o número de colunas de D (que é 2) coincide com o número de linhas de A (que também é 2). O resultado será uma matriz \,1\times3.]

Passo 2

Para multiplicar D\in\mathbb{R}^{1\times2} por A\in\mathbb{R}^{2\times3}, usamos a regra
(D\,A)_{j} \;=\;\sum_{k=1}^{2}D_{1k}\,A_{kj},
ou seja, cada entrada da linha única do produto é a soma dos produtos dos elementos correspondentes de D com as linhas de A.

Passo 3

Vamos calcular cada uma das três entradas de D\cdot A:
Entrada na coluna 1:
(D\,A)_{1} = 5\cdot1 + (-1)\cdot5 = 5 - 5 = 0.
Entrada na coluna 2:
(D\,A)_{2} = 5\cdot0 + (-1)\cdot2 = 0 - 2 = -2.
Entrada na coluna 3:
(D\,A)_{3} = 5\cdot(-2) + (-1)\cdot2 = -10 - 2 = -12.

Resposta

D \cdot A = \begin{pmatrix}0 & -2 & -12\end{pmatrix}.

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