Sejam A=[lll2 & 0 & 1 1 & 1 & 1 0 & 0 & 1], B=[rrr-2 & 0 & 0 0 & 12 & 0 0 & 0 & 13] e c=[r4 -2 1]. Responda os itens a seguir.
(a) (0,5 ponto) Encontre a equação característica de A e os autovalores de A.

Passo 1

O enunciado pede a equação característica e os autovalores de
A = 2 & 0 & 1 1 & 1 & 1 0 & 0 & 1
O conteúdo é o polinômio característico, definido por chi(lambda)=det(A-lambda I). Para isso, vamos montar A-lambda I e calcular seu determinante.

Passo 2

Escrevemos
A-lambda I = 2-lambda & 0 & 1 1 & 1-lambda & 1 0 & 0 & 1-lambda

Passo 3

Como a terceira linha tem dois zeros, expandimos o determinante por ela:
chi(lambda)=det(A-lambda I) =(1-lambda), det 2-lambda & 0 1 & 1-lambda

Passo 4

Calculamos a determinante 2times 2:
det 2-lambda & 0 1 & 1-lambda =(2-lambda)(1-lambda)-0cdot1 =(2-lambda)(1-lambda)
Portanto
chi(lambda)=(1-lambda)^2,(2-lambda)

Passo 5

Para obter os autovalores, resolvemos chi(lambda)=0:
(1-lambda)^2,(2-lambda)=0 Longrightarrow lambda=1(mu< alg 2), lambda=2(mu< alg 1)

Resposta

A equação característica é
chi(lambda)=(1-lambda)^2,(2-lambda)=0,
e os autovalores de A são lambda=1 (multiplicidade 2) e lambda=2.

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