Sejam \mathrm{a}, \mathrm{b} \in \mathrm{Z} dois números, pelo menos um deles diferente de zero. O máximo divisor comum entre a e b é o número natural \mathrm{d}=\mathrm{mdc}(\mathrm{a}, \mathrm{b}), definido pelas duas propriedades:
P1) Se d|a e d|b, (isto é d é divisor comum de a e b).
P2) Se algum \mathrm{c} \in \mathrm{N} dividir ambos a e b então temos \mathrm{c} \mid \mathrm{d}.
Considerando os números \pm 1, \pm 2, \pm 5 \mathrm{e} \pm 10 são os divisores comuns de 10 e 20. Sobre o mdc (10,20), assinale a alternativa CORRETA:
A) 20
B) 12
C) 10
D) 15

Passo 1

O enunciado dá a=10 e b=20 e pede \mathrm{mdc}(10,20), definido como o maior número natural que divide simultaneamente 10 e 20 (propriedades P1 e P2). Para resolver, vamos listar os divisores comuns e escolher o maior.

Passo 2

Em \mathbb Z, os divisores comuns de 10 e 20 são \{\pm1,\pm2,\pm5,\pm10\}.
Como \mathrm{mdc}(a,b) é natural, consideramos os divisores positivos: \{1,2,5,10\}.

Passo 3

O maior elemento desse conjunto é 10.
Verificação rápida:
P1) 10\mid10 e 10\mid20.
P2) Se c\in\mathbb N divide 10 e 20 então c\in\{1,2,5,10\}, logo c\mid10.
Portanto
\mathrm{mdc}(10,20)=10.

Resposta

C) 10

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