Sejam m, n, p \in \mathbb{N}. Demonstre as seguintes propriedades dos números naturais:
a) Associatividade: (m+n)+p=m+(n+p) e m \cdot(n \cdot p)=(m \cdot n) \cdot p;
b) Comutatividade do produto: m \cdot p=p \cdot m (Dica:use indução sobre m )
c) Distributividade: m \cdot(n+p)=m \cdot n+m \cdot p (Dica: use indução sobre m )
d) Lei de corte para o produto: Se m \cdot p=n \cdot p, então m=n. (Dica: 3^{\circ} axioma de Peano - PIF sobre p )

Passo 1

O enunciado pede para demonstrar, para quaisquer m,n,p\in\mathbb{N}, as seguintes propriedades:
  • (a) Associatividade: (m+n)+p = m+(n+p)e m\cdot(n\cdot p) = (m\cdot n)\cdot p.
  • (b) Comutatividade do produto: m\cdot p = p\cdot m.(Dica: usar indução sobre m.)
  • (c) Distributividade: m\cdot(n+p)=m\cdot n + m\cdot p.(Dica: usar indução sobre m.)
  • (d) Lei de corte (cancelamento) para o produto: se m\cdot p = n\cdot p então m=n.
    (Dica: usar o princípio da indução sobre p.)
Informações dadas (implícitas, típicas num desenvolvimento pela aritmética de Peano):
  • Os naturais vêm com a operação de sucessor S(x) e com o princípio de indução.
  • As operações são definidas recursivamente (definições que vamos usar explicitamente abaixo).

Passo 2

Vou relembrar as definições recursivas padrão (Peano) que usarei — é essencial entender como + e \cdot são construídos, porque todas as provas usam essas definições.
Definições (recursivas sobre o segundo argumento):
  • Para adição: m+0 = m,
m+S(n) = S(m+n).
Aqui S(n) é o sucessor de n (às vezes escrito n+1). A definição diz: somar m com o sucessor de n é o sucessor de m+n.
  • Para multiplicação: m\cdot 0 = 0,
m\cdot S(n) = m\cdot n + m.
A multiplicação é soma iterada: multiplicar m por o sucessor de n é multiplicar por n e depois somar mais m.
Também vamos usar o princípio da indução: para provar uma propriedade P(k) para todo k\in\mathbb{N} mostra-se P(0) e que P(k)\Rightarrow P(S(k)).
Explicação rápida do porquê dessas definições: com elas, m+1 = S(m) e m\cdot 1 = m; e a multiplicação cresce adicionando cópias de m. Essas formas permitem provas por indução simples.

Passo 3

Lema útil (que vamos precisar): associatividade da adição. Provarei (m+n)+p = m+(n+p) por indução em p.
Base p=0:
(m+n)+0 = m+n \quad\text{(pela definição de +)},çã
e
m+(n+0) = m+n \quad\text{(pela definição de +)}.çã
Logo (m+n)+0 = m+(n+0).
Passo indutivo: suponha (m+n)+p = m+(n+p) para certo p. Então, aplicando a regra para sucessor,
(m+n)+S(p) = S((m+n)+p) \quad\text{(definição de +)}çã
e
m+(n+S(p)) = m+S(n+p) = S(m+(n+p)) \quad\text{(duas vezes definição de +).}çã
Pela hipótese indutiva (m+n)+p = m+(n+p), logo
S((m+n)+p) = S(m+(n+p)).
Portanto (m+n)+S(p) = m+(n+S(p)). Assim a propriedade vale para S(p). Concluímos por indução que a adição é associativa:
(m+n)+p = m+(n+p)\quad\text{para todos }m,n,p.
Comentário didático: a ideia é simples — como + foi definido recursivamente pelo segundo argumento, ao passar de p para S(p) aparece um S(\cdot) dos dois lados, e a igualdade segue da hipótese indutiva.

Passo 4

Lema útil: comutatividade da adição (vamos precisar dela para manipular somas nas provas seguintes). Provo m+n = n+m por indução em n.
Base n=0:
m+0 = m = 0+m \quad\text{(pela definição de + e pela própria definição do caso \(0+m\) que também é \(m\)).}çãóçãéé
Passo indutivo: suponha m+n = n+m. Então
m+S(n) = S(m+n) \quad\text{(definição)},çã
e
S(n)+m = S(n+m) \quad\text{(definição aplicada ao primeiro somando)}.çã
Pela hipótese indutiva m+n = n+m, logo S(m+n) = S(n+m), portanto m+S(n) = S(n)+m. Isso completa a indução: m+n = n+m para todo m,n.
Comentário: muitas provas em aritmética usam comutatividade da soma para reorganizar termos; por isso provamos já.

Passo 5

Provar agora a distributividade (parte (c)), que será usada depois para propriedades do produto. Prova por indução em m (conforme a dica).
Queremos mostrar m\cdot(n+p)=m\cdot n + m\cdot p para todos m,n,p.
Base m=0:
0\cdot(n+p) = 0 \quad\text{(definição de multiplicação)},çãçã
e
0\cdot n + 0\cdot p = 0 + 0 = 0.
Assim a igualdade vale para m=0.
Passo indutivo: suponha que para algum k valha
k\cdot(n+p) = k\cdot n + k\cdot p
para todos n,p. Precisamos provar a mesma coisa para S(k). Usamos a definição de multiplicação:
S(k)\cdot(n+p) = k\cdot(n+p) + (n+p).
Pela hipótese indutiva substituímos:
S(k)\cdot(n+p) = \big(k\cdot n + k\cdot p\big) + (n+p).
Agora reorganizamos a soma usando associatividade e comutatividade da adição (lemmas já provados):
\big(k\cdot n + k\cdot p\big) + (n+p) = \big((k\cdot n) + n\big) + \big((k\cdot p) + p\big).
Mas (k\cdot n) + n = S(k)\cdot n e (k\cdot p) + p = S(k)\cdot p, visto que
S(k)\cdot n = k\cdot n + n \quad\text{(pela definição de multiplicação, com \(n\) no papel de segundo argumento).}çãçã
Portanto
S(k)\cdot(n+p) = S(k)\cdot n + S(k)\cdot p.
Assim a distributividade vale para S(k). Por indução sobre m concluímos que
m\cdot(n+p) = m\cdot n + m\cdot p
para todos m,n,p.
Comentário prático: a etapa-chave foi usar associatividade e comutatividade da soma para agrupar termos de modo a reconhecer as definições S(k)\cdot n e S(k)\cdot p.

Passo 6

Agora com a distributividade disponível, volto para provar a associatividade da multiplicação (segunda parte de (a)):
m\cdot(n\cdot p) = (m\cdot n)\cdot p.
Vou provar isso por indução em p (definição de \cdot é recursiva em segundo argumento).
Base p=0:
m\cdot(n\cdot 0) = m\cdot 0 = 0,
e
(m\cdot n)\cdot 0 = 0.
Logo vale para p=0.
Passo indutivo: suponha que
m\cdot(n\cdot p) = (m\cdot n)\cdot p
para certo p. Considere S(p). Pelo lado esquerdo,
m\cdot(n\cdot S(p)) = m\cdot(n\cdot p + n) \quad\text{(definição de multiplicação em \(n\))}.çãçã
Usando distributividade (Passo 5) com o primeiro fator m:
m\cdot(n\cdot p + n) = m\cdot(n\cdot p) + m\cdot n.
Pela hipótese indutiva m\cdot(n\cdot p) = (m\cdot n)\cdot p, portanto
m\cdot(n\cdot S(p)) = (m\cdot n)\cdot p + m\cdot n.
Pelo lado direito,
(m\cdot n)\cdot S(p) = (m\cdot n)\cdot p + (m\cdot n)
pela definição de multiplicação aplicada ao fator (m\cdot n). Então os dois lados coincidem, e a igualdade se mantém para S(p). Concluímos por indução que
m\cdot(n\cdot p) = (m\cdot n)\cdot p
para todos m,n,p. Assim a multiplicação é associativa.
Comentário: a associatividade do produto seguia depois de já termos distributividade; por isso essa ordem de provas faz sentido.

Passo 7

Provar a comutatividade do produto (parte (b)): m\cdot p = p\cdot m. A dica era usar indução sobre m; eu farei isso, e em cada passo usarei a definição e o que já foi provado (comutatividade e associatividade da soma, distributividade, identidade de 1, etc).
Prova por indução em m.
Base m=0:
Queremos mostrar 0\cdot p = p\cdot 0 para todo p.
  • Pela definição 0\cdot p = 0 (por indução em p usando a definição recursiva em segundo argumento, ou notando que soma de zeros dá zero).
  • Pela definição também p\cdot 0 = 0.
    Logo 0\cdot p = p\cdot 0.
Passo indutivo: suponha k\cdot p = p\cdot k para todo p (hipótese indutiva forte: fixo k vale para todos p). Mostrarei S(k)\cdot p = p\cdot S(k) para todo p.
Tomemos p arbitrário. Pela definição,
S(k)\cdot p = k\cdot p + p.
Pela hipótese indutiva k\cdot p = p\cdot k, então
S(k)\cdot p = p\cdot k + p.
Agora, usando distributividade e comutatividade da soma, observo que
p\cdot S(k) = p\cdot k + p \quad\text{(definição de multiplicação: multiplicar \(p\) por \(S(k)\) dá \(p\cdot k + p\)).}çãçãá
Logo
S(k)\cdot p = p\cdot k + p = p\cdot S(k).
Isso fecha o passo indutivo. Assim, por indução em m,
m\cdot p = p\cdot m
para todos m,p. Ou seja, a multiplicação é comutativa.
Comentário sobre a estratégia: foi fundamental a hipótese indutiva k\cdot p = p\cdot k para trocar os fatores dentro da soma k\cdot p + p e reconhecer a definição de p\cdot S(k). Por isso a indução sobre m é natural aqui.

Passo 8

Agora tenho associatividade e comutatividade da multiplicação, e distributividade. Vou provar a lei de corte para o produto (parte (d)): se m\cdot p = n\cdot p então m=n. Antes, preciso discutir um detalhe prático: se p=0 não vale (pois m\cdot 0 = n\cdot 0 = 0 para quaisquer m,n). Portanto a forma correta é: para p\neq 0 (ou supondo que \mathbb{N} comece em 1), verifica-se que m\cdot p = n\cdot p implica m=n. Vou provar a versão com p\ge 1. (Isto está de acordo com a dica de usar indução sobre p.)
Preparação: preciso de um lema simples sobre produtos não serem zero quando ambos os fatores são não nulos.
Lema A: Se a\neq 0 e b\neq 0 então a\cdot b \neq 0.
Prova do Lema A por indução em a (mostrando para todo b\neq 0 que a\cdot b\neq 0):
  • Base a=1: 1\cdot b = b\neq 0.
  • Passo indutivo: suponha que para a=k vale k\cdot b \neq 0 sempre que b\neq 0. Então para a=S(k), S(k)\cdot b = k\cdot b + b.Se b\neq 0 então k\cdot b é um natural e k\cdot b + b é sucessor de algo (ou pelo menos não 0); em particular soma de dois termos, um dos quais b\neq 0, não pode ser 0. Formalmente, pela propriedade de sucessor e injetividade de S já se vê que soma com um termo não-nulo não dá 0. Logo S(k)\cdot b \neq 0. Isso fecha a indução do lema.
Com o Lema A estabelecido, prossigo para a prova do cancelamento.
Proposição (Lei de corte para produto): para todo p\ge 1, se m\cdot p = n\cdot p então m=n.
Prova por indução em p\ge 1.
Base p=1:
m\cdot 1 = m,\quad n\cdot 1 = n,
logo m\cdot 1 = n\cdot 1 implica m=n. OK.
Passo indutivo: suponha a propriedade válida para um p\ge 1, isto é, suponha: para quaisquer m,n, se m\cdot p = n\cdot p então m=n. Vou mostrar que a propriedade vale para S(p).
Se m\cdot S(p) = n\cdot S(p) então, pelas definições,
m\cdot p + m = n\cdot p + n.
Reescrevendo:
(m\cdot p) - (n\cdot p) = n - m,
essa forma é apenas motivadora; para ficar estritamente em termos de soma, argue-se por contradição usando a ordem natural:
Suponha, sem perda, que m \neq n. Então ou m>n ou n>m. Suponha m>n. Então existe t\ge 1 tal que m = n + t. Então
m\cdot S(p) = (n+t)\cdot S(p) = n\cdot S(p) + t\cdot S(p).
Mas como m\cdot S(p) = n\cdot S(p), segue que t\cdot S(p) = 0. Isto contradiz o Lema A, porque t\ge 1 e S(p)\ge 1 implicam t\cdot S(p) \neq 0. Portanto não pode ocorrer m>n. Analogamente, não pode ocorrer n>m. Logo m=n.
Assim, por indução em p (para p\ge 1), temos a propriedade de cancelamento: se m\cdot p = n\cdot p e p\neq 0 então m=n.
Comentário final: a hipótese p\neq 0 é essencial — para p=0 não se tem cancelamento, porque m\cdot 0 = 0 para todo m.

Passo 9

Resumo final das propriedades demonstradas (já provadas passo a passo acima):
  • Associatividade da soma: (m+n)+p = m+(n+p) para todos m,n,p.
  • Associatividade do produto: m\cdot(n\cdot p) = (m\cdot n)\cdot p para todos m,n,p.
  • Comutatividade do produto: m\cdot p = p\cdot m para todos m,p.
  • Distributividade: m\cdot(n+p)=m\cdot n + m\cdot p para todos m,n,p.
  • Lei de corte para o produto: se p\neq 0 e m\cdot p = n\cdot p então m=n.

Resposta

(m+n)+p = m+(n+p)
m\cdot(n\cdot p) = (m\cdot n)\cdot p
m\cdot p = p\cdot m
m\cdot(n+p)=m\cdot n + m\cdot p
Se p\neq 0 e m\cdot p = n\cdot p então m=n

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