Sejam ( \mathbb{R}^{3},+, .) espaço vetorial e T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} dada por
T(x, y, z)=(x-y, x-z, z-y), \quad(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3}
Mostre que T é uma transformação linear e verifique se T é um automorfismo de \mathbb{R}^{3}.

Passo 1

O enunciado nos dá transformação T\colon \mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 definida por
T(x,y,z) = (x - y,\;x - z,\;z - y).
O conteúdo envolvido é transformação linear: vamos verificar que
  1. T(u+v)=T(u)+T(v);
  2. T(\alpha u)=\alpha\,T(u).
    Em seguida, para checar se T é um automorfismo, vamos analisar a invertibilidade de T por meio do determinante da matriz associada (ou do núcleo de T).

Passo 2

Sejam u=(x_1,y_1,z_1) e v=(x_2,y_2,z_2). Então
u+v=(x_1+x_2,\;y_1+y_2,\;z_1+z_2)
e
T(u+v)=(x_1+x_2-y_1-y_2,\;x_1+x_2-z_1-z_2,\;z_1+z_2-y_1-y_2).
Por outro lado,
T(u)+T(v)=(x_1-y_1,\;x_1-z_1,\;z_1-y_1)+(x_2-y_2,\;x_2-z_2,\;z_2-y_2),
=(x_1+x_2-y_1-y_2,\;x_1+x_2-z_1-z_2,\;z_1+z_2-y_1-y_2),
logo T(u+v)=T(u)+T(v).
Para \alpha\in\mathbb{R},
T(\alpha u)=T(\alpha x_1,\alpha y_1,\alpha z_1) =(\alpha x_1-\alpha y_1,\;\alpha x_1-\alpha z_1,\;\alpha z_1-\alpha y_1) =\alpha\,(x_1-y_1,\;x_1-z_1,\;z_1-y_1) =\alpha\,T(u).
Portanto, T é linear.

Passo 3

A matriz de T na base canônica é
A=\begin{pmatrix} 1 & -1 & 0\\\\ 1 & 0 & -1\\\\ 0 & -1 & 1 \end{pmatrix},
pois
T(x,y,z)= \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0\\\\ 1 & 0 & -1\\\\ 0 & -1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix}.
Calculamos
\det(A) =1\cdot\det\begin{pmatrix}0 & -1\\\ -1 & 1\end{pmatrix} -(-1)\cdot\det\begin{pmatrix}1 & -1\\\ 0 & 1\end{pmatrix} +0 =1(0-1)+1(1-0) =-1+1 =0.

Passo 4

Como \det(A)=0, a transformação T não é invertível. Equivalentemente, o sistema
x-y=0,\quad x-z=0,\quad z-y=0
implica x=y=z, logo
\ker(T)=\{t(1,1,1)\mid t\in\mathbb{R}\}\neq\{0\}.
Assim, T não é injetora nem invertível.

Resposta

T é uma transformação linear mas não é um automorfismo de \mathbb{R}^3.

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