Sejam V=\mathbb{R}^{2} e W=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid y=x^{2}\right\}. Verifique se W é um espaço vetorial de V.

Passo 1

O enunciado define o espaço vetorial ambientem V=\mathbb{R}^{2} e a parte W=\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid y=x^{2}\}. Para verificar se W é subespaço de V precisamos checar três condições:
  1. \mathbf{0}=(0,0)\in W.
  2. Fechamento em relação à soma: se u,v\in W então u+v\in W.
  3. Fechamento em relação à multiplicação escalar: se u\in W e \lambda\in\mathbb{R} então \lambda u\in W.

Passo 2

Verificamos o vetor zero
\mathbf{0}=(0,0).
Como 0 = 0^{2}, concluímos que \mathbf{0}\in W.

Passo 3

Testamos o fechamento sob adição com um contraexemplo. Seja
u=(1,1),\quad v=(1,1).
Ambos satisfazem 1=1^{2}, logo u,v\in W. Mas
u+v=(1+1,\;1+1)=(2,2).
Para (2,2) tivéssemos \,2 = 2^{2}=4, o que é falso. Assim (2,2)\notin W, e W não é fechado sob soma.

Passo 4

Como W falha na condição de fechamento sob adição, não é necessário testar a multiplicação escalar: W não é subespaço vetorial de \mathbb{R}^{2}.

Resposta

W não é um espaço vetorial de V.

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