Sejam T, S: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{3} duas transformações lineares, B=\{(1,2) ;(-2,3)\} uma base de \mathbb{R}^{2} e C=\{(0,1,1),(0,-1,1),(1,0,1)\} uma base de \mathbb{R}^{3}
Se (T)_{B, C}=\left[\begin{array}{cc}1 & -1 \\\\ 1 & -1\end{array}\right],determine T(x, y)

Passo 1

O enunciado afirma que T\colon\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^3 e que, nas bases
B=\{(1,2),\,(-2,3)\}\subset\mathbb{R}^2, \quad C=\{(0,1,1),\,(0,-1,1),\,(1,0,1)\}\subset\mathbb{R}^3,
a matriz de T é dada por
(T)_{B,C} =\begin{pmatrix} 1 & -1\\\\ 1 & -1 \end{pmatrix}.
Porém, para uma transformação de \mathbb{R}^2 em \mathbb{R}^3 a matriz em tais bases deve ter 3 linhas e 2 colunas (dimensão 3\times2), e falta a terceira linha na matriz fornecida.

Passo 2

Sem essa terceira linha (isto é, sem os três coeficientes que descrevem a componente na direção do terceiro vetor de C), não há informação suficiente para reconstruir a fórmula de T(x,y) em coordenadas canônicas.

Resposta

Não há como determinar T(x,y) porque a matriz (T)_{B,C} carece da terceira linha necessária para a imagem em \mathbb{R}^3.

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