Sejam T, S: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{3} duas transformações lineares,B=\{(1,2) ;(-2,3)\} uma base de \mathbb{R}^{2} e C=\{(0,1,1),(0,-1,1),(1,0,1)\} uma base de \mathbb{R}^{3} .
Se (T)_{B, C}=\left[\begin{array}{cc}1 & -1 \\\\ 1 & -1\end{array}\right],determine T(x, y) .
Passo 1
O enunciado afirma que T\colon\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^3 e que, nas bases
Porém, para uma transformação de \mathbb{R}^2 em \mathbb{R}^3 a matriz em tais bases deve ter 3 linhas e 2 colunas (dimensão 3\times2), e falta a terceira linha na matriz fornecida.
Passo 2
Sem essa terceira linha (isto é, sem os três coeficientes que descrevem a componente na direção do terceiro vetor de C), não há informação suficiente para reconstruir a fórmula de T(x,y) em coordenadas canônicas.
Resposta
Não há como determinar T(x,y) porque a matriz (T)_{B,C} carece da terceira linha necessária para a imagem em \mathbb{R}^3.