Sejam f, g, h \in \mathrm{~S}_{5} dados como:
f=\left(\begin{array}{ccccc}1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\\\ 3 & 4 & 5 & 1 & 2\end{array}\right) ; g=\left(\begin{array}{ccccc}1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\\\ 4 & 5 & 1 & 4 & 3\end{array}\right) ; h=\left(\begin{array}{ccccc}1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\\\ 1 & 2 & 4 & 5 & 3\end{array}\right)
Quantos elementos possuí S_{5} ?

Passo 1

O enunciado dá três permutações f,g,h escritas na notação de duas linhas e pergunta explicitamente: “Quantos elementos possuí S_{5} ?”
Informações relevantes fornecidas:
  • As permutações f,g,h pertencem a S_{5} (ou seja, são permutações do conjunto \{1,2,3,4,5\}).
  • A pergunta pede apenas a quantidade (cardinalidade) de S_{5}.

Passo 2

Entender o que é contar elementos de S_{5}.
Explicação didática: S_{5} é o conjunto de todas as bijeções de \{1,2,3,4,5\} em si mesmo. Cada elemento de S_{5} corresponde a uma maneira de atribuir a cada elemento do domínio um valor distinto da imagem (ou seja, uma ordenação/arranjo dos números 1 a 5).
Para contar quantas bijeções existem, pense passo a passo em como construir uma bijeção:
  • Para onde manda o elemento 1? Há 5 escolhas possíveis.
  • Depois que já escolhi a imagem de 1, para onde manda o elemento 2? Só restam 4 valores disponíveis (porque a aplicação é bijetiva).
  • Para 3 restam 3 escolhas, para 4 restam 2 escolhas, e para 5 resta 1 escolha.
Como essas escolhas são independentes na sequência (cada escolha reduz o número de opções seguintes), o princípio multiplicativo diz que o número total de bijeções é o produto dessas quantidades.

Passo 3

Aplicando o produto das escolhas:
\text{número de bijeções} = 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1.úçõ
Esse produto tem um nome: fatorial. Para um inteiro positivo n, define-se
n! = n\cdot (n-1)\cdot (n-2)\cdots 2\cdot 1.
Portanto o número que queremos é 5!.

Passo 4

Calcule 5! passo a passo (para poder fazer na prova sem calculadora):
5! = 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1.
Primeiro 5\cdot 4 = 20.
Depois 20\cdot 3 = 60.
Depois 60\cdot 2 = 120.
E 120\cdot 1 = 120.
Logo 5! = 120.

Passo 5

Interpretação rápida e exemplos pequenos para fixar:
  • Em geral |S_n| = n!. Por exemplo |S_1|=1, |S_2|=2, |S_3|=6. Para n=5 obtemos |S_5|=120.
  • Os três permutações f,g,h do enunciado são apenas três dos 120 elementos possíveis de S_5.

Resposta

120

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