Verifique quais dos conjunto abaixo são subgrupos de G L(2) :
C=\left\{M \in \mathbb{R}^{2 \times 2} ; \operatorname{det} M=1\right\}\

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto C=\{M\in\mathbb{R}^{2\times2}\mid \det M=1\} é um subgrupo de GL(2).
Informações dadas e coisas claras desde já:
  • GL(2) é o grupo de todas as matrizes 2\times2 com entradas reais que são invertíveis (ou seja, com determinante não nulo).
  • O conjunto C é o subconjunto de \mathbb{R}^{2\times2} formado por todas as matrizes de determinante igual a 1.
  • A pergunta é: C é um subgrupo de GL(2)? Ou seja, C é subconjunto de GL(2) fechado nas operações do grupo, contém a identidade e contém inversos de seus elementos (associatividade é herdada de GL(2)).

Passo 2

Primeiro passo prático: provar que C é não-vazio e que todo elemento de C está realmente em GL(2).
  • A matriz identidade I=\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix} tem determinante
\det I = 1.
Logo I\in C, então C não é vazio e contém a identidade de GL(2).
  • Se M\in C então \det M=1\neq 0. Portanto M é invertível e M\in GL(2). Assim C\subseteq GL(2).]

Passo 3

Agora precisamos verificar fechamento sob produto: se A,B\in C então AB\in C? Para isso usamos a propriedade multiplicativa do determinante. Vou mostrar essa propriedade para matrizes 2\times2 explicitamente (é útil saber mostrar no exame).
Se
A=\begin{pmatrix}a & b\\[4pt]c & d\end{pmatrix},\qquad B=\begin{pmatrix}e & f\\[4pt]g & h\end{pmatrix},
então
AB=\begin{pmatrix}ae+bg & af+bh\\[4pt]ce+dg & cf+dh\end{pmatrix}.
O determinante de AB é
\det(AB)=(ae+bg)(cf+dh)-(af+bh)(ce+dg).
Expandindo e simplificando (agrupando termos) obtém-se
\det(AB)=(ad-bc)(eh-fg)=\det A\cdot\det B.
Essa é a identidade de multiplicatividade do determinante para 2\times2. (Intuição: determinante mede fator de escala de área, então fatores se multiplicam.)]

Passo 4

Usando a propriedade anterior, se A,B\in C então \det A=1 e \det B=1, portanto
\det(AB)=\det A\cdot\det B = 1\cdot 1 = 1.
Logo AB\in C. Conclusão: C é fechado para o produto de matrizes.

Passo 5

Falta verificar que o inverso de um elemento de C permanece em C. Seja A\in C. Já sabemos que \det A=1\neq 0, então A é invertível e A^{-1}\in GL(2). Usando a multiplicatividade do determinante:
\det(I)=\det(AA^{-1})=\det A\cdot\det(A^{-1}).
Como \det I=1 e \det A=1, segue que
1=\det A\cdot\det(A^{-1})=1\cdot\det(A^{-1}),
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\det(A^{-1})=1.
Portanto A^{-1}\in C. Ou seja, C contém inversos de todos os seus elementos.

Passo 6

Já temos: C é não-vazio (contém I), C\subseteq GL(2), C é fechado sob produto e contém inversos. Associatividade é herdada de GL(2). Esses são exatamente os requisitos para C ser um subgrupo de GL(2).
Observação adicional (nome): o conjunto C é comumente chamado de grupo especial linear e denotado por \mathrm{SL}(2,\mathbb{R}).

Resposta

C é um subgrupo de GL(2). (É o grupo \mathrm{SL}(2,\mathbb{R}).)

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