Verifique quais dos conjunto abaixo são subgrupos de
:
Passo 1
O enunciado pede para verificar se o conjunto
é um subgrupo de
.
Informações dadas e coisas claras desde já:
-
é o grupo de todas as matrizes com entradas reais que são invertíveis (ou seja, com determinante não nulo). - O conjunto
é o subconjunto de formado por todas as matrizes de determinante igual a . - A pergunta é:
é um subgrupo de ? Ou seja, é subconjunto de fechado nas operações do grupo, contém a identidade e contém inversos de seus elementos (associatividade é herdada de ).
Passo 2
Primeiro passo prático: provar que
é não-vazio e que todo elemento de
está realmente em
.
- A matriz identidade
tem determinante
Logo
, então
não é vazio e contém a identidade de
.
- Se
então . Portanto é invertível e . Assim .]
Passo 3
Agora precisamos verificar fechamento sob produto: se
então
? Para isso usamos a propriedade multiplicativa do determinante. Vou mostrar essa propriedade para matrizes
explicitamente (é útil saber mostrar no exame).
Se
então
O determinante de
é
Expandindo e simplificando (agrupando termos) obtém-se
Essa é a identidade de multiplicatividade do determinante para
. (Intuição: determinante mede fator de escala de área, então fatores se multiplicam.)]
Passo 4
Usando a propriedade anterior, se
então
e
, portanto
Logo
. Conclusão:
é fechado para o produto de matrizes.
Passo 5
Falta verificar que o inverso de um elemento de
permanece em
. Seja
. Já sabemos que
, então
é invertível e
. Usando a multiplicatividade do determinante:
Como
e
, segue que
logo
Portanto
. Ou seja,
contém inversos de todos os seus elementos.
Passo 6
Já temos:
é não-vazio (contém
),
,
é fechado sob produto e contém inversos. Associatividade é herdada de
. Esses são exatamente os requisitos para
ser um subgrupo de
.
Observação adicional (nome): o conjunto
é comumente chamado de grupo especial linear e denotado por
.