Sejam \mathrm{A}=\left[\begin{array}{ccc}1 & 2 & 3 \\\\ 2 & 1 & -1\end{array}\right], \mathrm{B}=\left[\begin{array}{ccc}-2 & 0 & 1 \\\\ 3 & 0 & 1\end{array}\right], \mathrm{C}=\left[\begin{array}{c}-1 \\\\ 2 \\\\ 4\end{array}\right] e \quad \mathrm{D}=\left[\begin{array}{ll}2 & -1\end{array}\right]
Calcule, se possível senão justifique:
A.C

Passo 1

O enunciado dá as matrizes
A=\begin{bmatrix}1 & 2 & 3 \\[4pt] 2 & 1 & -1\end{bmatrix},\qquad C=\begin{bmatrix}-1 \\[4pt] 2 \\[4pt] 4\end{bmatrix}
e pede para calcular A\cdot C.]

Passo 2

Verificar se o produto está definido e qual será a dimensão do resultado.
Regra: se A é uma matriz de dimensão m\times n e C é n\times p, então A\cdot C é definido e tem dimensão m\times p. Aqui:
  • A é 2\times 3 (duas linhas, três colunas),
  • C é 3\times 1 (três linhas, uma coluna).
Como o número de colunas de A ( 3) é igual ao número de linhas de C ( 3), o produto A\cdot C está definido e terá dimensão 2\times 1 (um vetor coluna com 2 entradas).

Passo 3

Fórmula para as entradas do produto.
Se A é m\times n e C é n\times 1, então a entrada i-ésima do produto A\cdot C é
(A\cdot C)_i=\sum_{k=1}^{n} A_{ik}\,C_k,
onde A_{ik} é o elemento da i-ésima linha e k-ésima coluna de A e C_k é o k-ésimo elemento de C. No nosso caso n=3, então
(A\cdot C)_i = A_{i1}C_1 + A_{i2}C_2 + A_{i3}C_3.

Passo 4

Calcular a primeira entrada (A\cdot C)_1 (linha 1 de A vezes coluna de C).
A primeira linha de A é [1\;2\;3] e C=\begin{bmatrix}-1\\[4pt]2\\[4pt]4\end{bmatrix}. Então
(A\cdot C)_1 = 1\cdot(-1) + 2\cdot 2 + 3\cdot 4.
Calcule passo a passo:
1\cdot(-1) = -1,\qquad 2\cdot 2 = 4,\qquad 3\cdot 4 = 12.
Somando:
(A\cdot C)_1 = -1 + 4 + 12 = 15.]

Passo 5

Calcular a segunda entrada (A\cdot C)_2 (linha 2 de A vezes coluna de C).
A segunda linha de A é [2\;1\;-1]. Então
(A\cdot C)_2 = 2\cdot(-1) + 1\cdot 2 + (-1)\cdot 4.
Calcule passo a passo:
2\cdot(-1) = -2,\qquad 1\cdot 2 = 2,\qquad (-1)\cdot 4 = -4.
Somando:
(A\cdot C)_2 = -2 + 2 -4 = -4.

Passo 6

Escrever o resultado final como vetor coluna de dimensão 2\times 1.
Juntando as duas entradas:
A\cdot C = \begin{bmatrix}15 \\[4pt] -4\end{bmatrix}.]

Resposta

\begin{bmatrix}15 \\[4pt] -4\end{bmatrix}]

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