Sejam \mathrm{A}=\left[\begin{array}{ccc}1 & 2 & 3 \\\\ 2 & 1 & -1\end{array}\right], \mathrm{B}=\left[\begin{array}{ccc}-2 & 0 & 1 \\\\ 3 & 0 & 1\end{array}\right], \mathrm{C}=\left[\begin{array}{c}-1 \\\\ 2 \\\\ 4\end{array}\right] e \quad \mathrm{D}=\left[\begin{array}{ll}2 & -1\end{array}\right]
Calcule, se possível senão justifique:
D.B

Passo 1

O enunciado dá quatro matrizes e pede para calcular D\cdot B. Vou listar o que foi fornecido (copiado do enunciado):
A=\begin{pmatrix}1 & 2 & 3 \\[4pt] 2 & 1 & -1\end{pmatrix},\qquad B=\begin{pmatrix}-2 & 0 & 1 \\[4pt] 3 & 0 & 1\end{pmatrix},
C=\begin{pmatrix}-1 \\[4pt] 2 \\[4pt] 4\end{pmatrix},\qquad D=\begin{pmatrix}2 & -1\end{pmatrix}.
A única pergunta é: calcular D\cdot B (ou justificar se não for possível).]

Passo 2

Primeiro vamos identificar as dimensões de cada matriz (contando linhas e colunas):
  • A tem 2 linhas e 3 colunas, então A é 2\times3.
  • B tem 2 linhas e 3 colunas, então B é 2\times3.
  • C tem 3 linhas e 1 coluna, então C é 3\times1.
  • D tem 1 linha e 2 colunas, então D é 1\times2.
Saber as dimensões é essencial para ver se a multiplicação está definida.

Passo 3

Regra de multiplicação de matrizes (explicação didática):
Se X é m\times p e Y é p\times n, então o produto XY está definido e resulta em uma matriz m\times n.
O elemento da posição (i,j) do produto é dado por
(XY)_{ij}=\sum_{k=1}^{p} X_{ik}\,Y_{kj},
onde k percorre as colunas de X (ou as linhas de Y).
Aqui cada símbolo significa:
  • m = número de linhas de X,
  • p = número de colunas de X (e número de linhas de Y),
  • n = número de colunas de Y,
  • X_{ik} = elemento da linha i e coluna k de X,
  • Y_{kj} = elemento da linha k e coluna j de Y.

Passo 4

Aplicando isso ao nosso caso:
  • D é 1\times2 e B é 2\times3. Como o número de colunas de D ( 2) coincide com o número de linhas de B ( 2), o produto D\cdot B está definido.
  • O resultado terá dimensão 1\times3 (uma linha e três colunas).
    A fórmula para os elementos será, para j=1,2,3,
(DB)_{1j}=\sum_{k=1}^{2} D_{1k}\,B_{kj}=D_{11}B_{1j}+D_{12}B_{2j}.

Passo 5

Agora calculamos cada entrada usando os valores numéricos. Peguei os valores de D e B da lista do enunciado.
Os elementos de D são D_{11}=2 e D_{12}=-1.
As colunas de B são:
  • primeira coluna: B_{11}=-2,\;B_{21}=3,
  • segunda coluna: B_{12}=0,\;B_{22}=0,
  • terceira coluna: B_{13}=1,\;B_{23}=1.
Calculando cada entrada:
  • Para j=1:
(DB)_{11}=D_{11}B_{11}+D_{12}B_{21}=2\cdot(-2)+(-1)\cdot 3=-4-3=-7.
  • Para j=2:
(DB)_{12}=D_{11}B_{12}+D_{12}B_{22}=2\cdot 0+(-1)\cdot 0=0+0=0.
  • Para j=3:
(DB)_{13}=D_{11}B_{13}+D_{12}B_{23}=2\cdot 1+(-1)\cdot 1=2-1=1.

Passo 6

Concluímos numericamente os três elementos do produto. Confere: a dimensão resultante é 1\times3 conforme previsto e os cálculos foram apenas somas e produtos escalares — ideal para fazer rápido na prova sem calculadora. Força aí, tá indo bem!

Resposta

\begin{pmatrix}-7 & 0 & 1\end{pmatrix}

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