Sejam \mathrm{A}=\left[\begin{array}{ccc}1 & 2 & 3 \\\\ 2 & 1 & -1\end{array}\right], \mathrm{B}=\left[\begin{array}{ccc}-2 & 0 & 1 \\\\ 3 & 0 & 1\end{array}\right], \mathrm{C}=\left[\begin{array}{c}-1 \\\\ 2 \\\\ 4\end{array}\right] e \quad \mathrm{D}=\left[\begin{array}{ll}2 & -1\end{array}\right]
Calcule, se possível senão justifique:
C.A

Passo 1

O enunciado nos dá as matrizes (peguei os coeficientes exatamente do enunciado):
  • \mathrm{A}=\left[\begin{array}{ccc}1 & 2 & 3 \\[4pt] 2 & 1 & -1\end{array}\right].
  • \mathrm{B}=\left[\begin{array}{ccc}-2 & 0 & 1 \\[4pt] 3 & 0 & 1\end{array}\right].
  • \mathrm{C}=\left[\begin{array}{c}-1 \\[4pt] 2 \\[4pt] 4\end{array}\right].
  • \mathrm{D}=\left[\begin{array}{ll}2 & -1\end{array}\right].
O que o enunciado pede: calcular \mathrm{C}\mathrm{A} (ou justificar por que não é possível).
Informações relevantes extraídas:
  • \mathrm{A} tem 2 linhas e 3 colunas, ou seja \mathrm{A} é de dimensão 2\times3.
  • \mathrm{C} tem 3 linhas e 1 coluna, ou seja \mathrm{C} é de dimensão 3\times1.]

Passo 2

Regra de compatibilidade para multiplicação de matrizes (explicação didática): se uma matriz X tem dimensão m\times n e outra matriz Y tem dimensão p\times q, então o produto XY está definido somente se o número de colunas de X for igual ao número de linhas de Y, isto é, se n=p. Nesse caso o produto XY terá dimensão m\times q.
Fórmula para os elementos do produto (como se calcula cada entrada): se X=(x_{ij}) é m\times n e Y=(y_{jk}) é n\times q, então o elemento na linha i e coluna k do produto XY é dado por
(XY)_{ik}=\sum_{j=1}^{n} x_{ij}\,y_{jk}.
Isto é, cada entrada do produto é o produto escalar (soma dos produtos correspondentes) entre a linha i de X e a coluna k de Y.

Passo 3

Aplicando a regra às matrizes do problema:
  • \mathrm{C} é 3\times1 (ou seja m=3,\,n=1 para X=\mathrm{C}).
  • \mathrm{A} é 2\times3 (ou seja p=2,\,q=3 para Y=\mathrm{A}).
Para que \mathrm{C}\mathrm{A} esteja definido precisamos que n=p, isto é que o número de colunas de \mathrm{C} (que é 1) seja igual ao número de linhas de \mathrm{A} (que é 2). Aqui temos 1\neq2. Portanto as dimensões não são compatíveis e o produto \mathrm{C}\mathrm{A} NÃO está definido.

Passo 4

(Explicação prática e dica de prova: quando a multiplicação na ordem pedida não é possível, muitas vezes vale checar a multiplicação na ordem oposta se fizer sentido.) No nosso caso a multiplicação \mathrm{A}\mathrm{C} é possível porque \mathrm{A} é 2\times3 e \mathrm{C} é 3\times1 (as dimensões internas coincidem: 3=3). Para fixar a ideia, segue o cálculo de \mathrm{A}\mathrm{C} como exemplo de como proceder numa prova:
Calcular \mathrm{A}\mathrm{C} usando a fórmula dos elementos (cada entrada é a soma dos produtos correspondentes linha de \mathrm{A} × coluna de \mathrm{C}):
  • Primeira entrada (linha 1, coluna 1):
(\mathrm{A}\mathrm{C})_{11}=1\cdot(-1)+2\cdot 2+3\cdot 4=-1+4+12=15.
  • Segunda entrada (linha 2, coluna 1):
(\mathrm{A}\mathrm{C})_{21}=2\cdot(-1)+1\cdot 2+(-1)\cdot 4=-2+2-4=-4.
Logo
\mathrm{A}\mathrm{C}=\left[\begin{array}{c}15 \\[4pt] -4\end{array}\right].
Isto é só uma aula prática para mostrar o procedimento; porém o pedido do enunciado era \mathrm{C}\mathrm{A}, que como já justifiquei, não é definido.]

Resposta

Não é possível calcular \mathrm{C}\mathrm{A}: as dimensões não são compatíveis, pois \mathrm{C} é 3\times1 e \mathrm{A} é 2\times3; para multiplicação é preciso que o número de colunas de \mathrm{C} seja igual ao número de linhas de \mathrm{A} (aqui 1\neq2).

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