Sejam \mathrm{A}=\left[\begin{array}{ccc}1 & 2 & 3 \\\\ 2 & 1 & -1\end{array}\right], \mathrm{B}=\left[\begin{array}{ccc}-2 & 0 & 1 \\\\ 3 & 0 & 1\end{array}\right], \mathrm{C}=\left[\begin{array}{c}-1 \\\\ 2 \\\\ 4\end{array}\right] e \quad \mathrm{D}=\left[\begin{array}{ll}2 & -1\end{array}\right]
Calcule, se possível senão justifique:
B.C

Passo 1

O enunciado fornece as matrizes (peguei estes valores do enunciado):
\mathrm{B}=\begin{pmatrix}-2 & 0 & 1\\[4pt] 3 & 0 & 1\end{pmatrix},\qquad \mathrm{C}=\begin{pmatrix}-1\\[4pt] 2\\[4pt] 4\end{pmatrix}.
O que é pedido: calcular o produto \mathrm{B}\,\mathrm{C} ou, caso não seja possível, justificar por que não é possível.]

Passo 2

Primeiro vamos verificar se a multiplicação é compatível em dimensões. Relembrando a regra (mini-aula):
  • Se B tem dimensão m\times n e C tem dimensão n\times p, então o produto BC existe e tem dimensão m\times p.
  • A fórmula para cada entrada é
(BC)_{ik}=\sum_{j=1}^{n} b_{ij}\,c_{jk},
onde b_{ij} é o elemento da linha i e coluna j de B e c_{jk} é o elemento da linha j e coluna k de C.
No nosso caso \mathrm{B} é 2\times 3 e \mathrm{C} é 3\times 1. As dimensões internas coincidem ( 3), logo \mathrm{B}\,\mathrm{C} existe e terá dimensão 2\times 1 (um vetor coluna com 2 entradas). Na prática, cada entrada do resultado é o produto escalar (dot product) de uma linha de B com a coluna de C.

Passo 3

Identificando os elementos (peguei os números da matriz dada):
\mathrm{B}=\begin{pmatrix} b_{11} & b_{12} & b_{13}\\[4pt] b_{21} & b_{22} & b_{23} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-2 & 0 & 1\\[4pt] 3 & 0 & 1\end{pmatrix}, \qquad \mathrm{C}=\begin{pmatrix}c_{11}\\[4pt] c_{21}\\[4pt] c_{31}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-1\\[4pt] 2\\[4pt] 4\end{pmatrix}.
Portanto:
b_{11}=-2,\\ b_{12}=0,\\ b_{13}=1,\qquad b_{21}=3,\\ b_{22}=0,\\ b_{23}=1,
c_{11}=-1,\\ c_{21}=2,\\ c_{31}=4.]

Passo 4

Calculamos a primeira entrada do produto, que é a linha 1 de B vezes a coluna de C. Aplicando a fórmula:
(BC)_{11}=b_{11}c_{11}+b_{12}c_{21}+b_{13}c_{31}.
Substituindo os números:
(BC)_{11}=(-2)\cdot(-1)+0\cdot 2+1\cdot 4.
Efetuando as multiplicações e soma (faça devagar na prova: multiplica, depois soma):
(BC)_{11}=2+0+4=6.

Passo 5

Agora a segunda entrada, que é a linha 2 de B vezes a coluna de C:
(BC)_{21}=b_{21}c_{11}+b_{22}c_{21}+b_{23}c_{31}.
Substituindo:
(BC)_{21}=3\cdot(-1)+0\cdot 2+1\cdot 4.
Calculando:
(BC)_{21}=-3+0+4=1.

Passo 6

Montando o vetor coluna resultado com as entradas calculadas (ordem: primeira linha dá a primeira entrada, segunda linha a segunda):
\mathrm{B}\,\mathrm{C}=\begin{pmatrix}(BC)_{11}\\[4pt](BC)_{21}\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}6\\[4pt]1\end{pmatrix}.]

Resposta

\displaystyle \begin{pmatrix}6\\[4pt]1\end{pmatrix}]

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