Considere dois círculos no primeiro quadrante:
  • \quad C_{1} com centro \left(x_{1}, y_{1}\right), raio r_{1} e área \frac{\pi}{16}.
  • \mathrm{C}_{2} com centro \left(\mathrm{x}_{2}, \mathrm{y}_{2}\right), raio \mathrm{r}_{2} e área 144 \pi.
Sabendo que \left(x_{1}, y_{1}, r_{1}\right) e \left(x_{2}, y_{2}, r_{2}\right) são duas progressões geométricas com somas dos termos iguais a \frac{7}{4} e 21 , respectivamente, então a distância entre os centros de \mathrm{C}_{1} e \mathrm{C}_{2} é igual a:
(A) \frac{\sqrt{123}}{2}
(B) \frac{\sqrt{129}}{2}
(C) \frac{\sqrt{131}}{2}
(D) \frac{\sqrt{135}}{2}
(E) \frac{\sqrt{137}}{2}

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações (todas no primeiro quadrante):
  • Círculo C_{1} tem centro \left(x_{1},y_{1}\right), raio r_{1} e área \dfrac{\pi}{16}.
  • Círculo C_{2} tem centro \left(x_{2},y_{2}\right), raio r_{2} e área 144\pi.
  • Os triplos \left(x_{1},y_{1},r_{1}\right) e \left(x_{2},y_{2},r_{2}\right) são progressões geométricas (PG) de três termos.
  • A soma dos termos da PG de C_{1} é \dfrac{7}{4}.
  • A soma dos termos da PG de C_{2} é 21.
O que o problema pede:
  • Calcular a distância entre os centros \left(x_{1},y_{1}\right) e \left(x_{2},y_{2}\right).

Passo 2

Primeiro, determinar os raios a partir das áreas usando a fórmula da área do círculo:
\text{área}=\pi r^{2}.á
Para C_{1}:
\pi r_{1}^{2}=\frac{\pi}{16}\quad\Rightarrow\quad r_{1}^{2}=\frac{1}{16}\quad\Rightarrow\quad r_{1}=\frac{1}{4},
pois r_{1}>0 (primeiro quadrante).
Para C_{2}:
\pi r_{2}^{2}=144\pi\quad\Rightarrow\quad r_{2}^{2}=144\quad\Rightarrow\quad r_{2}=12,
pois r_{2}>0.

Passo 3

Agora usar a informação de que \left(x_{1},y_{1},r_{1}\right) é uma PG de três termos. Para uma PG de três termos tomamos
x_{1}=a,\qquad y_{1}=a q,\qquad r_{1}=a q^{2},
onde a>0 é o primeiro termo e q>0 é a razão (positiva porque as coordenadas estão no primeiro quadrante). A soma dos termos é
a(1+q+q^{2})=\frac{7}{4}.
Também sabemos a q^{2}=r_{1}=\dfrac{1}{4}. Para eliminar a dividimos a soma por a q^{2}:
\frac{a(1+q+q^{2})}{a q^{2}}=\frac{\frac{7}{4}}{\frac{1}{4}} \quad\Rightarrow\quad \frac{1+q+q^{2}}{q^{2}}=7.
Isso dá
\frac{1}{q^{2}}+\frac{1}{q}+1=7\quad\Rightarrow\quad \frac{1}{q^{2}}+\frac{1}{q}-6=0.
Faça a substituição u=\dfrac{1}{q} (com u>0). A equação vira
u^{2}+u-6=0.
Resolvendo:
u=\frac{-1\pm\sqrt{1+24}}{2}=\frac{-1\pm5}{2}.
As raízes são u=2 ou u=-3. Como u>0 temos u=2, logo
\frac{1}{q}=2\quad\Rightarrow\quad q=\frac{1}{2}.
Agora a q^{2}= \dfrac{1}{4}
a\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{1}{4}\quad\Rightarrow\quad a\cdot\frac{1}{4}=\frac{1}{4}\quad\Rightarrow\quad a=1.
Portanto
x_{1}=a=1,\qquad y_{1}=a q=1\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{2},\qquad r_{1}=\frac{1}{4},
confirmando consistência.

Passo 4

Repetir o procedimento para \left(x_{2},y_{2},r_{2}\right). Seja
x_{2}=b,\qquad y_{2}=b s,\qquad r_{2}=b s^{2},
com b>0, s>0. A soma é
b(1+s+s^{2})=21,
e b s^{2}=r_{2}=12. Dividindo:
\frac{1+s+s^{2}}{s^{2}}=\frac{21}{12}=\frac{7}{4}.
Isso implica
\frac{1}{s^{2}}+\frac{1}{s}+1=\frac{7}{4}.
Multiplicando por 4s^{2}:
4+4s+4s^{2}=7s^{2}\quad\Rightarrow\quad 0=7s^{2}-4s^{2}-4s-4=3s^{2}-4s-4.
Resolva a quadrática:
s=\frac{4\pm\sqrt{(-4)^{2}-4\cdot3\cdot(-4)}}{2\cdot3} =\frac{4\pm\sqrt{16+48}}{6} =\frac{4\pm8}{6}.
As soluções são s=2 ou s=-\dfrac{2}{3}. Como precisamos de s>0 (primeiro quadrante), tomamos s=2.
Então b s^{2}=12
b\cdot 2^{2}=12\quad\Rightarrow\quad b\cdot4=12\quad\Rightarrow\quad b=3.
Logo
x_{2}=b=3,\qquad y_{2}=b s=3\cdot2=6,\qquad r_{2}=12.

Passo 5

Calcular a distância entre os centros usando a fórmula da distância no plano:
d=\sqrt{(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}.
Substituindo os valores encontrados:
x_{2}-x_{1}=3-1=2, \qquad y_{2}-y_{1}=6-\frac{1}{2}=\frac{12-1}{2}=\frac{11}{2}.
Portanto
d=\sqrt{2^{2}+\left(\frac{11}{2}\right)^{2}} =\sqrt{4+\frac{121}{4}} =\sqrt{\frac{16+121}{4}} =\sqrt{\frac{137}{4}} =\frac{\sqrt{137}}{2}.
Comparando com as alternativas, corresponde à letra (E).

Resposta

\dfrac{\sqrt{137}}{2}

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