Considere dois círculos no primeiro quadrante:
-
com centro
, raio
e área
.
-
com centro
, raio
e área
.
Sabendo que
e
são duas progressões geométricas com somas dos termos iguais a
e 21 , respectivamente, então a distância entre os centros de
e
é igual a:
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
Passo 1
O enunciado nos dá as seguintes informações (todas no primeiro quadrante):
- Círculo
tem centro , raio e área . - Círculo
tem centro , raio e área . - Os triplos
e são progressões geométricas (PG) de três termos. - A soma dos termos da PG de
é . - A soma dos termos da PG de
é .
O que o problema pede:
- Calcular a distância entre os centros
e .
Passo 2
Primeiro, determinar os raios a partir das áreas usando a fórmula da área do círculo:
Para
:
pois
(primeiro quadrante).
Para
:
pois
.
Passo 3
Agora usar a informação de que
é uma PG de três termos. Para uma PG de três termos tomamos
onde
é o primeiro termo e
é a razão (positiva porque as coordenadas estão no primeiro quadrante). A soma dos termos é
Também sabemos
. Para eliminar
dividimos a soma por
:
Isso dá
Faça a substituição
(com
). A equação vira
Resolvendo:
As raízes são
ou
. Como
temos
, logo
Agora
dá
Portanto
confirmando consistência.
Passo 4
Repetir o procedimento para
. Seja
com
,
. A soma é
e
. Dividindo:
Isso implica
Multiplicando por
:
Resolva a quadrática:
As soluções são
ou
. Como precisamos de
(primeiro quadrante), tomamos
.
Então
dá
Logo
Passo 5
Calcular a distância entre os centros usando a fórmula da distância no plano:
Substituindo os valores encontrados:
Portanto
Comparando com as alternativas, corresponde à letra (E).