Sejam as matrizes
\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{rrr} 1 & 2 & 3 \\\\ 2 & 1 & -1 \end{array}\right], \quad \boldsymbol{B}=\left[\begin{array}{rrr} -2 & 0 & 1 \\\\ 3 & 0 & 1 \end{array}\right], \quad \boldsymbol{C}=\left[\begin{array}{r} -1 \\\\ 2 \\\\ 4 \end{array}\right], \quad \boldsymbol{D}=\left[\begin{array}{lr} 2 & -1 \end{array}\right] .
Calcule, se for possível. No caso de não ser possível, explique o motivo.
A D

Passo 1

O enunciado fornece as matrizes abaixo e pede para calcular, se possível, o produto AD:
\boldsymbol{A}=\begin{bmatrix}1 & 2 & 3\\[4pt] 2 & 1 & -1\end{bmatrix},\qquad \boldsymbol{B}=\begin{bmatrix}-2 & 0 & 1\\[4pt] 3 & 0 & 1\end{bmatrix},\qquad \boldsymbol{C}=\begin{bmatrix}-1\\[4pt]2\\[4pt]4\end{bmatrix},\qquad \boldsymbol{D}=\begin{bmatrix}2 & -1\end{bmatrix}.
Informações relevantes que extraí:
  • \boldsymbol{A} tem dimensão 2\times 3 (2 linhas e 3 colunas).
  • \boldsymbol{B} tem dimensão 2\times 3.
  • \boldsymbol{C} tem dimensão 3\times 1.
  • \boldsymbol{D} tem dimensão 1\times 2 (uma linha e duas colunas).
    A pergunta específica: calcular AD ou, se não for possível, explicar o motivo.]

Passo 2

Regra de multiplicação de matrizes (sem pular etapas).
Seja \boldsymbol{X} uma matriz de dimensão m\times n e \boldsymbol{Y} uma matriz de dimensão p\times q.
O produto \boldsymbol{X}\boldsymbol{Y} está definido somente quando o número de colunas de \boldsymbol{X} é igual ao número de linhas de \boldsymbol{Y}; em símbolos, quando n=p.
Quando isso ocorre, o resultado \boldsymbol{Z}=\boldsymbol{X}\boldsymbol{Y} tem dimensão m\times q e seus elementos são dados por
(\boldsymbol{Z})_{ij}=\sum_{k=1}^{n} X_{ik}\,Y_{kj},
onde:
  • i varia de 1 até m (índice de linhas da matriz resultado),
  • j varia de 1 até q (índice de colunas da matriz resultado),
  • k varia de 1 até n (índice de somatório que “liga” colunas de \boldsymbol{X} com linhas de \boldsymbol{Y}).
Explicando em linguagem bem direta: para multiplicar \boldsymbol{X} por \boldsymbol{Y} precisa “casar” o número de colunas da primeira com o número de linhas da segunda; se não casarem, não existe a soma de produtos necessária para cada elemento da matriz resultado.

Passo 3

Aplicando a regra às matrizes dadas:
  • Para \boldsymbol{A} identificamos m=2 e n=3 (ou seja, \boldsymbol{A} é 2\times3).
  • Para \boldsymbol{D} identificamos p=1 e q=2 (ou seja, \boldsymbol{D} é 1\times2).
A condição para \boldsymbol{A}\boldsymbol{D} existir é n=p, isto é, 3=1. Como
3 \neq 1,
a condição não é satisfeita.

Passo 4

Conclusão técnica e interpretação curta: não é possível calcular \boldsymbol{A}\boldsymbol{D} porque as dimensões são incompatíveis — \boldsymbol{A} é 2\times3 e \boldsymbol{D} é 1\times2; ao multiplicar uma 2\times3 por uma 1\times2 faltam os termos para o somatório (o número de colunas da primeira não coincide com o número de linhas da segunda).
Observação útil (opcional): a multiplicação \boldsymbol{D}\boldsymbol{A} é possível, porque \boldsymbol{D} é 1\times2 e \boldsymbol{A} é 2\times3, então o produto teria dimensão 1\times3. Mas isso é um produto diferente de \boldsymbol{A}\boldsymbol{D}.

Resposta

Não é possível calcular \boldsymbol{A}\boldsymbol{D}, pois \boldsymbol{A} é 2\times3 e \boldsymbol{D} é 1\times2, e as dimensões não são compatíveis ( 3\neq1).

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