Sejam as matrizes
\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{rrr} 1 & 2 & 3 \\\\ 2 & 1 & -1 \end{array}\right], \quad \boldsymbol{B}=\left[\begin{array}{rrr} -2 & 0 & 1 \\\\ 3 & 0 & 1 \end{array}\right], \quad \boldsymbol{C}=\left[\begin{array}{r} -1 \\\\ 2 \\\\ 4 \end{array}\right], \quad \boldsymbol{D}=\left[\begin{array}{lr} 2 & -1 \end{array}\right] .
Calcule, se for possível. No caso de não ser possível, explique o motivo.
B^{t} A

Passo 1

O enunciado dá quatro matrizes e pede para calcular B^{t}A. Vou listar exatamente o que foi dado e o que é pedido.
  • Matrizes fornecidas:
A=\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3\\[4pt] 2 & 1 & -1 \end{bmatrix},\qquad B=\begin{bmatrix} -2 & 0 & 1\\[4pt] 3 & 0 & 1 \end{bmatrix},
C=\begin{bmatrix}-1\\[4pt]2\\[4pt]4\end{bmatrix},\qquad D=\begin{bmatrix}2 & -1\end{bmatrix}.
  • Pedido: calcular B^{t}A (isto é, a matriz transposta de B multiplicada por A). Nada mais foi pedido nesta parte.]

Passo 2

Vamos confirmar se a multiplicação é possível e lembrar a regra que usamos para multiplicar matrizes.
Regra de dimensão para produto: se M é p\times q e N é q\times r, então o produto MN existe e é uma matriz p\times r. Os elementos desse produto são dados por
(MN)_{ij}=\sum_{k=1}^{q} M_{ik}\,N_{kj},
ou seja, cada elemento da matriz resultante é o produto escalar (dot product) entre a i-ésima linha de M e a j-ésima coluna de N.
Vou aplicar essa regra a B^{t}A.

Passo 3

Determinar dimensões das matrizes envolvidas.
  • A matriz A tem 2 linhas e 3 colunas, logo A é 2\times3.
  • A matriz B tem 2 linhas e 3 colunas, logo B é 2\times3.
  • A transposta B^{t} troca linhas por colunas, portanto B^{t} é 3\times2.
Como B^{t} é 3\times2 e A é 2\times3, as dimensões internas coincidem (2), então o produto B^{t}A existe e terá dimensão 3\times3.

Passo 4

Escrever explicitamente B^{t} e as colunas de A para facilitar os cálculos.
A transposta de B é obtida trocando linhas por colunas:
B^{t}=\begin{bmatrix} -2 & 3\\[4pt] 0 & 0\\[4pt] 1 & 1 \end{bmatrix}.
As colunas de A (úteis para calcular cada entrada por produto escalar) são:
\text{col}_1(A)=\begin{bmatrix}1\\[4pt]2\end{bmatrix},\qquad \text{col}_2(A)=\begin{bmatrix}2\\[4pt]1\end{bmatrix},\qquad \text{col}_3(A)=\begin{bmatrix}3\\[4pt]-1\end{bmatrix}.]

Passo 5

Explicar como calcular uma entrada qualquer de B^{t}A.
Se chamarmos X=B^{t}A e b^{(i)} a i-ésima linha de B^{t}, então a entrada x_{ij} é o produto escalar entre b^{(i)} (vetor linha de dimensão 2) e \text{col}_j(A) (vetor coluna de dimensão 2):
x_{ij}=b^{(i)}\cdot\text{col}_j(A)=b^{(i)}_1\cdot(\text{col}_j(A))_1 + b^{(i)}_2\cdot(\text{col}_j(A))_2.
As linhas de B^{t} são:
b^{(1)} = \begin{bmatrix}-2 & 3\end{bmatrix},\qquad b^{(2)} = \begin{bmatrix}0 & 0\end{bmatrix},\qquad b^{(3)} = \begin{bmatrix}1 & 1\end{bmatrix}.

Passo 6

Calcular todas as entradas de B^{t}A realizando os produtos escalares um a um (mostrando as contas).
Linha 1 (usando b^{(1)}=(-2,3)):
  • x_{11}=(-2,3)\cdot(1,2)=(-2)\cdot1 + 3\cdot2 = -2 + 6 = 4.
  • x_{12}=(-2,3)\cdot(2,1)=(-2)\cdot2 + 3\cdot1 = -4 + 3 = -1.
  • x_{13}=(-2,3)\cdot(3,-1)=(-2)\cdot3 + 3\cdot(-1) = -6 -3 = -9.
Linha 2 (usando b^{(2)}=(0,0)):
  • x_{21}=(0,0)\cdot(1,2)=0\cdot1 + 0\cdot2 = 0.
  • x_{22}=(0,0)\cdot(2,1)=0\cdot2 + 0\cdot1 = 0.
  • x_{23}=(0,0)\cdot(3,-1)=0\cdot3 + 0\cdot(-1) = 0.
Linha 3 (usando b^{(3)}=(1,1)):
  • x_{31}=(1,1)\cdot(1,2)=1\cdot1 + 1\cdot2 = 1 + 2 = 3.
  • x_{32}=(1,1)\cdot(2,1)=1\cdot2 + 1\cdot1 = 2 + 1 = 3.
  • x_{33}=(1,1)\cdot(3,-1)=1\cdot3 + 1\cdot(-1) = 3 - 1 = 2.

Passo 7

Montar a matriz resultado a partir das entradas calculadas. Assim,
B^{t}A=\begin{bmatrix} 4 & -1 & -9\\[4pt] 0 & 0 & 0\\[4pt] 3 & 3 & 2 \end{bmatrix}.]

Resposta

\begin{bmatrix} 4 & -1 & -9\\[4pt] 0 & 0 & 0\\[4pt] 3 & 3 & 2 \end{bmatrix}]

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