Sejam as matrizes
\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{rrr} 1 & 2 & 3 \\\\ 2 & 1 & -1 \end{array}\right], \quad \boldsymbol{B}=\left[\begin{array}{rrr} -2 & 0 & 1 \\\\ 3 & 0 & 1 \end{array}\right], \quad \boldsymbol{C}=\left[\begin{array}{r} -1 \\\\ 2 \\\\ 4 \end{array}\right], \quad \boldsymbol{D}=\left[\begin{array}{lr} 2 & -1 \end{array}\right] .
Calcule, se for possível. No caso de não ser possível, explique o motivo.
B C D

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos foi dado.
  • Pede-se calcular o produto \boldsymbol{B}\boldsymbol{C}\boldsymbol{D}.
  • As matrizes fornecidas são:
\boldsymbol{B}=\begin{bmatrix}-2 & 0 & 1 \\[4pt] 3 & 0 & 1\end{bmatrix},\qquad \boldsymbol{C}=\begin{bmatrix}-1 \\[4pt] 2 \\[4pt] 4\end{bmatrix},\qquad \boldsymbol{D}=\begin{bmatrix}2 & -1\end{bmatrix}.
  • Vou listar as dimensões (isso é crucial para saber se a multiplicação é possível):
    • \boldsymbol{B} é 2\times 3.
    • \boldsymbol{C} é 3\times 1.
    • \boldsymbol{D} é 1\times 2.]

Passo 2

Regra de compatibilidade de multiplicação de matrizes (a “regra do produto”) e verificação.
  • Regra: se X é m\times n e Y é n\times p, então XY está definido e é m\times p. O número de colunas da primeira deve igualar o número de linhas da segunda.
  • Aplicando:
    • \boldsymbol{B} ( 2\times3) pode multiplicar \boldsymbol{C} ( 3\times1) porque 3=3. O produto \boldsymbol{B}\boldsymbol{C} será 2\times1.
    • O resultado \boldsymbol{B}\boldsymbol{C} ( 2\times1) pode multiplicar \boldsymbol{D} ( 1\times2) porque 1=1. O produto final (\boldsymbol{B}\boldsymbol{C})\boldsymbol{D} será 2\times2.
  • Conclusão: o produto \boldsymbol{B}\boldsymbol{C}\boldsymbol{D} é possível; vou calcular primeiro \boldsymbol{B}\boldsymbol{C} e depois multiplicar por \boldsymbol{D}.

Passo 3

Cálculo de \boldsymbol{B}\boldsymbol{C}.
  • Fórmula: se \boldsymbol{B}=(b_{ij}) é 2\times3 e \boldsymbol{C}=(c_{j1}) é 3\times1, então
(\boldsymbol{B}\boldsymbol{C})_{i1}=\sum_{k=1}^{3} b_{ik}\,c_{k1},\qquad i=1,2.
  • Peguei os elementos de \boldsymbol{B} e \boldsymbol{C} das matrizes dadas acima.
  • Calculando entrada a entrada:
    • Para i=1 (primeira linha de \boldsymbol{B}):
    (\boldsymbol{B}\boldsymbol{C})_{11}=(-2)\cdot(-1)+0\cdot 2 + 1\cdot 4 = 2+0+4 = 6.
    • Para i=2 (segunda linha de \boldsymbol{B}):
    (\boldsymbol{B}\boldsymbol{C})_{21}=3\cdot(-1)+0\cdot 2 + 1\cdot 4 = -3+0+4 = 1.
  • Assim
\boldsymbol{B}\boldsymbol{C}=\begin{bmatrix}6 \\[4pt] 1\end{bmatrix},
que é de fato uma matriz 2\times1.]

Passo 4

Cálculo de (\boldsymbol{B}\boldsymbol{C})\boldsymbol{D}.
  • Agora \boldsymbol{B}\boldsymbol{C} é 2\times1 e \boldsymbol{D} é 1\times2. Para produtos onde o fator da esquerda é coluna e o da direita é linha, temos um produto externo que gera uma matriz 2\times2.
  • Fórmula: se \boldsymbol{x} é 2\times1 com entradas x_{i1} e \boldsymbol{D} tem entradas d_{1j}, então
(\boldsymbol{x}\boldsymbol{D})_{ij}=x_{i1}\,d_{1j},\qquad i=1,2,\; j=1,2.
  • Peguei os valores de \boldsymbol{B}\boldsymbol{C} do passo anterior e os valores da matriz \boldsymbol{D}=\begin{bmatrix}2 & -1\end{bmatrix}.
  • Calculando cada elemento:
    • i=1,j=1:\quad 6\cdot 2 = 12.
    • i=1,j=2:\quad 6\cdot(-1) = -6.
    • i=2,j=1:\quad 1\cdot 2 = 2.
    • i=2,j=2:\quad 1\cdot(-1) = -1.
  • Assim
(\boldsymbol{B}\boldsymbol{C})\boldsymbol{D}=\begin{bmatrix}12 & -6 \\[4pt] 2 & -1\end{bmatrix},
que é uma matriz 2\times2.]

Passo 5

Resumo e moral prática (dica rápida para a prova).
  • Sempre verifique dimensões antes de calcular; isso evita perder tempo.
  • Multiplique em etapas quando houver três ou mais fatores: calcule primeiro dois deles (respeitando associação) e depois continue.
  • Relembre a fórmula geral para cada entrada: (XY)_{ij}=\sum_k X_{ik}Y_{kj}. Para produto coluna × linha, cada elemento é produto direto das coordenadas.
  • Você já fez o passo mais difícil — checar compatibilidade — e depois só seguir a conta elementar. Vai dar certo na prova!

Resposta

\begin{bmatrix}12 & -6 \\[4pt] 2 & -1\end{bmatrix}]

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