Sejam as matrizes
\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{rrr} 1 & 2 & 3 \\\\ 2 & 1 & -1 \end{array}\right], \quad \boldsymbol{B}=\left[\begin{array}{rrr} -2 & 0 & 1 \\\\ 3 & 0 & 1 \end{array}\right], \quad \boldsymbol{C}=\left[\begin{array}{r} -1 \\\\ 2 \\\\ 4 \end{array}\right], \quad \boldsymbol{D}=\left[\begin{array}{lr} 2 & -1 \end{array}\right] .
Calcule, se for possível. No caso de não ser possível, explique o motivo.
A C D

Passo 1

O enunciado pede para calcular o produto matricial A C D. As matrizes fornecidas são (estou só repetindo os dados do enunciado para ficar claro):
\boldsymbol{A}=\begin{pmatrix}1 & 2 & 3\\[4pt] 2 & 1 & -1\end{pmatrix},\quad \boldsymbol{C}=\begin{pmatrix}-1\\[4pt] 2\\[4pt] 4\end{pmatrix},\quad \boldsymbol{D}=\begin{pmatrix}2 & -1\end{pmatrix}.
Anotando as dimensões:
  • \boldsymbol{A} é 2\times3 (2 linhas, 3 colunas).
  • \boldsymbol{C} é 3\times1.
  • \boldsymbol{D} é 1\times2.
O que está sendo pedido é o produto \boldsymbol{A}\boldsymbol{C}\boldsymbol{D}.]

Passo 2

Regra de compatibilidade para multiplicação: para multiplicar uma matriz X de dimensão m\times p por uma matriz Y de dimensão p\times n é necessário que o número de colunas de X seja igual ao número de linhas de Y; o resultado terá dimensão m\times n.
Aplicando às nossas matrizes:
  • \boldsymbol{A} ( 2\times3) pode ser multiplicada por \boldsymbol{C} ( 3\times1) porque 3=3. O produto \boldsymbol{A}\boldsymbol{C} terá dimensão 2\times1.
  • O resultado \boldsymbol{A}\boldsymbol{C} ( 2\times1) pode então ser multiplicado por \boldsymbol{D} ( 1\times2) porque 1=1. O produto final terá dimensão 2\times2.
Portanto o produto \boldsymbol{A}\boldsymbol{C}\boldsymbol{D} é possível e resultará em uma matriz 2\times2.

Passo 3

Vou calcular primeiro \boldsymbol{A}\boldsymbol{C}. A fórmula geral para o elemento (i,j) do produto XY é
(XY)_{ij}=\sum_{k=1}^{p} X_{ik}\,Y_{kj},
onde p é o número de colunas de X (ou linhas de Y).
Aqui \boldsymbol{A} é 2\times3 e \boldsymbol{C} é 3\times1, então o produto tem entradas:
(\boldsymbol{A}\boldsymbol{C})_{i1}=\sum_{k=1}^{3} A_{ik}\,C_{k1}.
Calculemos linha a linha.
Primeira linha de \boldsymbol{A} é (1,2,3). Então
(\boldsymbol{A}\boldsymbol{C})_{11}=1\cdot(-1)+2\cdot 2+3\cdot 4 = -1+4+12=15.
Segunda linha de \boldsymbol{A} é (2,1,-1). Então
(\boldsymbol{A}\boldsymbol{C})_{21}=2\cdot(-1)+1\cdot 2+(-1)\cdot 4 = -2+2-4=-4.
Logo
\boldsymbol{A}\boldsymbol{C}=\begin{pmatrix}15\\[4pt]-4\end{pmatrix},
que é uma matriz 2\times1.]

Passo 4

Agora calcule (\boldsymbol{A}\boldsymbol{C})\boldsymbol{D}. Aqui \boldsymbol{A}\boldsymbol{C} é 2\times1 e \boldsymbol{D} é 1\times2. Para esse caso, a multiplicação é simples: o produto de um vetor coluna por um vetor linha gera uma matriz cujo elemento (i,j) é o produto do elemento i do vetor coluna pelo elemento j do vetor linha. Em fórmulas, se v é m\times1 e w é 1\times n, então
(vw)_{ij}=v_{i1}\,w_{1j}.
Aqui v=\boldsymbol{A}\boldsymbol{C}=\begin{pmatrix}15\\[4pt]-4\end{pmatrix} e w=\boldsymbol{D}=\begin{pmatrix}2 & -1\end{pmatrix}. Multiplicando:
Primeira linha:
\begin{array}{l} (\text{linha }1, \text{col }1)=15\cdot 2=30,\\[4pt] (\text{linha }1, \text{col }2)=15\cdot(-1)=-15. \end{array}
Segunda linha:
\begin{array}{l} (\text{linha }2, \text{col }1)=-4\cdot 2=-8,\\[4pt] (\text{linha }2, \text{col }2)=-4\cdot(-1)=4. \end{array}
Portanto o produto final é a matriz 2\times2
\begin{pmatrix}30 & -15\\[4pt]-8 & 4\end{pmatrix}.]

Passo 5

Comentário didático curto: a multiplicação matricial é associativa, então poderia-se também calcular primeiro \boldsymbol{C}\boldsymbol{D} ( 3\times2) e depois \boldsymbol{A}(\boldsymbol{C}\boldsymbol{D}) — o resultado seria o mesmo. Isso é útil na prova para escolher a ordem que facilita as contas.

Resposta

\boldsymbol{A}\boldsymbol{C}\boldsymbol{D}=\begin{pmatrix}30 & -15\\[4pt]-8 & 4\end{pmatrix}]

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