Sejam A e B matrizes n times n invertíveis. Avalie:
det(B^-1 A B), det(A^-1 B^-1 A B)

Passo 1

O enunciado nos dá duas matrizes A e B invertíveis de ordem n. Queremos avaliar
det(B^-1AB) e det(A^-1B^-1AB).
Para isso vamos usar as propriedades de determinante:
det(XY)=det(X),det(Y) e det(X^-1)=1/det(X).

Passo 2

Para calcular det(B^-1AB) aplicamos a propriedade multiplicativa:
det(B^-1AB)=det(B^-1),det(A),det(B)
Como det(B^-1)=1/det(B), segue
det(B^-1AB) =1det(B),det(A),det(B) =det(A)

Passo 3

Agora avaliamos det(A^-1B^-1AB). Usando multiplicatividade em quatro fatores:
det(A^-1B^-1AB) =det(A^-1),det(B^-1),det(A),det(B)
Substituindo det(A^-1)=1/det(A) e det(B^-1)=1/det(B) obtemos
det(A^-1B^-1AB) =1det(A)cdot1det(B)cdotdet(A)cdotdet(B) =1

Resposta

det(B^-1AB)=det(A)
det(A^-1B^-1AB)=1

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