Sejam
e
matrizes quadradas de mesma ordem e invertíveis. Resolva as equações matriciais abaixo, nas quais
é a variável.
Passo 1
O enunciado dá quatro matrizes quadradas de mesma ordem e invertíveis
e pede para resolver a equação matricial
onde a incógnita é a matriz
. Vamos usar propriedades de cancelamento de matrizes invertíveis e de fatoração de polinómio matricial.
Passo 2
Como
é invertível, multiplicamos à esquerda por
e obtemos
Passo 3
Como
é invertível, multiplicamos à direita por
:
Passo 4
Reescrevendo a igualdade como
e fatorando à direita, obtemos
Passo 5
A equação matricial
é satisfeita sempre que o produto de duas matrizes é a matriz nula. As soluções mais imediatas são as matrizes que anulam um dos fatores. Assim, temos como soluções gerais
Se exigirmos ainda que
seja invertível, então a única solução é
Resposta
portanto
sendo
a única solução invertível.