Sejam A, B, C e D matrizes quadradas de mesma ordem e invertíveis. Resolva as equações matriciais abaixo, nas quais X é a variável.
A B C X^2 D^2=A B C X D

Passo 1

O enunciado dá quatro matrizes quadradas de mesma ordem e invertíveis A,B,C,D e pede para resolver a equação matricial
A,B,C,X^2,D^2 ;=; A,B,C,X,D,
onde a incógnita é a matriz X. Vamos usar propriedades de cancelamento de matrizes invertíveis e de fatoração de polinómio matricial.

Passo 2

Como A,B,C é invertível, multiplicamos à esquerda por l(A,B,Cr)^-1 e obtemos
l(A,B,Cr)^-1l(A,B,C,X^2,D^2r) ;=; l(A,B,Cr)^-1l(A,B,C,X,Dr) Longrightarrow X^2,D^2 ;=; X,D

Passo 3

Como D é invertível, multiplicamos à direita por D^-2:
X^2,D^2,D^-2 ;=; X,D,D^-2 Longrightarrow X^2 ;=; X,D^-1

Passo 4

Reescrevendo a igualdade como
X^2 - X,D^-1 = 0
e fatorando à direita, obtemos
X,(X - D^-1) = 0

Passo 5

A equação matricial
X,(X - D^-1) = 0
é satisfeita sempre que o produto de duas matrizes é a matriz nula. As soluções mais imediatas são as matrizes que anulam um dos fatores. Assim, temos como soluções gerais
X = 0 ou X = D^-1
Se exigirmos ainda que X seja invertível, então a única solução é
X = D^-1

Resposta

X,(X - D^-1) = 0,
portanto
X = 0 ou X = D^-1,
sendo X = D^-1 a única solução invertível.

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