Sejam a, x, c in R, com epsilon>0. Mostre que
|x-a|<varepsilon Leftrightarrow a-c<x<a+varepsilon Leftrightarrow x in(a-varepsilon, a+c)

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos três números reais a , x e c , com varepsilon > 0 . Precisamos mostrar que a desigualdade |x - a| < varepsilon é equivalente a dizer que a - varepsilon < x < a + varepsilon e que x pertence ao intervalo (a - varepsilon, a + varepsilon) . Para resolver isso, vamos lembrar das propriedades do valor absoluto e como ele se relaciona com intervalos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa |x - a| < varepsilon . O valor absoluto |x - a| representa a distância entre os números x e a na reta real. Então, |x - a| < varepsilon significa que a distância entre x e a é menor que varepsilon .

Passo 3

Agora, vamos eliminar o valor absoluto para transformar essa expressão em uma desigualdade sem o valor absoluto. Sabemos que:
|x - a| < varepsilon Leftrightarrow -varepsilon < x - a < varepsilon
Isso ocorre porque o valor absoluto |x - a| ser menor que varepsilon implica que x - a está entre -varepsilon e varepsilon .

Passo 4

Vamos isolar x nessa desigualdade. Para isso, adicionamos a a todas as partes da desigualdade:
-varepsilon + a < x < varepsilon + a
Ou seja:
a - varepsilon < x < a + varepsilon

Passo 5

Agora, podemos expressar essa nova desigualdade em termos de intervalo. A desigualdade a - varepsilon < x < a + varepsilon significa que x está entre a - varepsilon e a + varepsilon . Em notação de intervalo, isso é escrito como:
x in (a - varepsilon, a + varepsilon)

Resposta

Portanto, mostramos que:
|x - a| < varepsilon Leftrightarrow a - varepsilon < x < a + varepsilon Leftrightarrow x in (a - varepsilon, a + varepsilon)

Exercícios relacionados