Sejam
, com
. Mostre que
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos três números reais
,
e
, com
. Precisamos mostrar que a desigualdade
é equivalente a dizer que
e que
pertence ao intervalo
. Para resolver isso, vamos lembrar das propriedades do valor absoluto e como ele se relaciona com intervalos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa
. O valor absoluto
representa a distância entre os números
e
na reta real. Então,
significa que a distância entre
e
é menor que
.
Passo 3
Agora, vamos eliminar o valor absoluto para transformar essa expressão em uma desigualdade sem o valor absoluto. Sabemos que:
Isso ocorre porque o valor absoluto
ser menor que
implica que
está entre
e
.
Passo 4
Vamos isolar
nessa desigualdade. Para isso, adicionamos
a todas as partes da desigualdade:
Ou seja:
Passo 5
Agora, podemos expressar essa nova desigualdade em termos de intervalo. A desigualdade
significa que
está entre
e
. Em notação de intervalo, isso é escrito como:
Resposta
Portanto, mostramos que: