Sejam a, b, x in R tais que 0<a<x<b. Mostre que
a b<x(a+b-x)

Passo 1

O enunciado diz que a,b,xinR satisfazem 0<a<x<b e pede para mostrar que
ab < x,(a+b-x)
O conteúdo envolvido é manipulação de inequações e fatoração em produtos de termos que sabemos o sinal.

Passo 2

Subtraímos ab de ambos os lados para analisar a diferença:
x,(a+b-x) - ab = xa + xb - x^2 - ab

Passo 3

Reagrupando e fatorando a expressão acima, obtém-se
xa + xb - x^2 - ab = (x-a)(b-x)

Passo 4

Pela hipótese 0 < a < x < b temos x-a>0 e b-x>0. Portanto
(x-a)(b-x) > 0,
ou seja
x,(a+b-x) - ab > 0

Resposta

Como x(a+b-x)-ab>0, concluímos que
ab < x,(a+b-x)

Exercícios relacionados