Sejam x, y in R. Mostre que:
|x3|=lvert, x|y|, com y neq 0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado da questão pede para mostrar que:
|x3| = |x|y||
onde x e y são números reais ( x, y in R ) e y neq 0 . Vamos usar conceitos de valor absoluto e propriedades das frações para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o valor absoluto. O valor absoluto de um número, representado por |a| , é a distância desse número até zero na reta numérica, sempre sendo um número não negativo. Por exemplo, |5| = 5 e |-5| = 5 .

Passo 3

Agora, vamos analisar cada lado da igualdade separadamente.
Do lado esquerdo temos:
|x3|
Isso significa o valor absoluto de x3 , que é igual a |x|3 , já que o valor absoluto de uma fração é a fração dos valores absolutos:
|x3| = |x|3

Passo 4

Do lado direito da igualdade, temos:
|x|y||
Aqui, o denominador é |y| , que já é um valor não negativo. O valor absoluto da fração, portanto, é:
|x|y|| = |x||y|

Passo 5

Agora, igualamos as duas expressões que obtivemos:
|x|3 = |x||y|
Para resolver essa igualdade, podemos multiplicar ambos os lados por 3 e |y| para eliminar os denominadores:
|x| cdot |y| = |x| cdot 3

Passo 6

Agora, podemos dividir ambos os lados por |x| . Mas atenção: se |x| neq 0 , podemos fazer essa divisão sem problemas. Se |x| = 0 , então x = 0 e a igualdade já é verdadeira, pois ambos os lados seriam 0 .
Assumindo que |x| neq 0 :
|y| = 3

Passo 7

Então, concluímos que para que a igualdade inicial seja verdadeira, é necessário que:
|y| = 3
Isso significa que y pode ser 3 ou -3 , já que o valor absoluto de ambos é 3 .

Resposta

Para que |x3| = |x|y|| seja verdadeira, é necessário que |y| = 3 . Ou seja, y = 3 ou y = -3 .

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