Sejam a, b, c, d in R. Mostre que x a<b e c<d, entao
a d+b c<a c+b d

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente mostrar que, se temos quatro números reais a, b, c, d e sabemos que a < b e c < d , então a soma a cdot d + b cdot c é menor que a cdot c + b cdot d . Para resolver isso, vamos usar conceitos básicos de desigualdades e manipulação algébrica.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as desigualdades que temos: a < b e c < d . Isso significa que b é maior que a e d é maior que c .

Passo 3

Agora, para comparar a cdot d + b cdot c com a cdot c + b cdot d , vamos reorganizar a expressão que queremos provar. Vamos subtrair a cdot c + b cdot c de ambos os lados:
a cdot d + b cdot c - a cdot c - b cdot c < a cdot c + b cdot d - a cdot c - b cdot c
Simplificando:
a cdot (d - c) < b cdot (d - c)

Passo 4

Perceba que d - c é positivo porque d > c . Então, podemos dividir ambos os lados da desigualdade por d - c sem mudar o sentido da desigualdade:
a < b

Passo 5

Mas, lembra que já sabemos que a < b . Isso confirma que a nossa manipulação está correta e que a desigualdade original a cdot d + b cdot c < a cdot c + b cdot d é verdadeira.

Resposta

Portanto, mostramos que se a < b e c < d , então a cdot d + b cdot c < a cdot c + b cdot d .

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