Use uma tabela básica de transformada de Laplace e suas propriedades para determinar a transformada de Laplace das seguintes funções:
f) f(t)=sen(t)t.

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace da função
f(t)=sen(t)t
usando uma tabela básica e as propriedades da transformada de Laplace. Vamos precisar da transformada de sen(t) e da propriedade que relaciona Lf(t)/t com Lf(t).

Passo 2

Da tabela básica de transformadas temos
Lsen(t)(s)=integral0^inftye^-stsen(t),dt=1s^2+1, Re(s)>0
Denotando F(s)=Lsen(t)(s), ou seja
F(s)=1s^2+1,
vamos usar a propriedade
Llf(t)tr(s) =integrals^inftyF(u),du,
válida para Re(s)>0.

Passo 3

Aplicando essa propriedade com F(u)=tfrac1u^2+1 obtemos
Llsen(t)tr(s) =integrals^infty1u^2+1,du

Passo 4

Para calcular a integral, usamos
integral1u^2+1,du=arctan(u)
Logo
integrals^infty1u^2+1,du =limRtoinftyl[arctan(u)r]s^R =pi2-arctan(s)
E, como pi2-arctan(s)=arctan!l(tfrac1sr) para s>0, fica

Resposta

boxedLlsen(t)tr(s) =pi2-arctan(s) =arctan!l(tfrac1sr), Re(s)>0

Exercícios relacionados