Sejam
. Mostre que
é solução da equação
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a função
é solução da equação de Euler–Cauchy
desde que
seja raiz da equação característica
Vamos usar a propriedade de derivadas de potências para verificar diretamente essa condição.
Passo 2
Calculamos as derivadas de
. Como
, temos
e novamente derivando,
Passo 3
Substituímos
,
e
na equação
e obtemos
Passo 4
Fatorando
em cada termo, segue-se
Para que isso seja zero para todo
, basta que
isto é,
deve ser raiz da equação característica.
Resposta
A função
satisfaz
precisamente quando
é raiz de