Sejam a, b, c in R. Mostre que
y(x)=x^r, com r raiz de r^2+(b-1) r+c=0,
é solução da equação x^2 y^prime prime+b x y^prime+c y=0.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a função
y(x)=x^r
é solução da equação de Euler–Cauchy
x^2y''+b,x,y'+c,y=0
desde que r seja raiz da equação característica
r^2+(b-1)r+c=0
Vamos usar a propriedade de derivadas de potências para verificar diretamente essa condição.

Passo 2

Calculamos as derivadas de y(x)=x^r. Como ddxx^r=r,x^r-1, temos
y'(x)=r,x^r-1,
e novamente derivando,
y''(x)=r(r-1),x^r-2

Passo 3

Substituímos y, y' e y'' na equação
x^2y''+b,x,y'+c,y
e obtemos
x^2l[r(r-1),x^r-2r]+b,xl[r,x^r-1r]+cl[x^rr]

Passo 4

Fatorando x^r em cada termo, segue-se
x^2y''+b,x,y'+c,y = l[r(r-1)+b,r+cr],x^r = l[r^2+(b-1)r+cr],x^r
Para que isso seja zero para todo x>0, basta que
r^2+(b-1)r+c=0,
isto é, r deve ser raiz da equação característica.

Resposta

A função y(x)=x^r satisfaz
x^2y''+b,x,y'+c,y=0
precisamente quando r é raiz de
r^2+(b-1)r+c=0

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