Sejam os números complexos, z1=1-j ; z2=raiz3+j ; Z3=-1+j raiz3.
Marque todas as alternativas corretas:
1z3=12(cos 2 pi3-j sen 2 pi3)

Passo 1

Beleza, temos os números complexos z1 = 1 - j , z2 = raiz3 + j e z3 = -1 + jraiz3 . A gente precisa verificar se a expressão 1z3 = 12(cos 2pi3 - j,sin 2pi3) está correta. Para isso, vamos usar conceitos de números complexos, como conjugado e módulo, além de funções trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular 1z3 . Lembra que, para inverter um número complexo, usamos o conjugado e o módulo. A fórmula é:
1z = z|z|^2
Onde z é o conjugado de z e |z| é o módulo de z .

Passo 3

Vamos encontrar o conjugado de z3 :
z3 = -1 - jraiz3

Passo 4

Agora, calculamos o módulo de z3 :
|z3| = raiz(-1)^2 + (raiz3)^2 = raiz1 + 3 = raiz4 = 2
Então, |z3|^2 = 4 .

Passo 5

Aplicando a fórmula da inversa:
1z3 = z3|z3|^2 = -1 - jraiz34 = -14 - jraiz34

Passo 6

Vamos agora analisar a expressão proposta na questão:
12(cos 2pi3 - j,sin 2pi3)
Vamos calcular cos 2pi3 e sin 2pi3 :
cos 2pi3 = cos 120^circ = -12
sin 2pi3 = sin 120^circ = raiz32
Substituindo na expressão:
12(-12 - j,raiz32) = -14 - jraiz34

Resposta

A alternativa está correta:
1z3 = 12(cos 2pi3 - j,sin 2pi3)

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