Sejam
números reais com
. Calcule as integrais indefinidas.
(Dica. Calcule a derivada de
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
, onde
e
são constantes reais e
. O assunto é integração de funções da forma
, que usamos por substituição e a propriedade da derivada de logaritmo.
Passo 2
Para simplificar, fazemos a substituição
. Assim, derivando ambos os lados,
, o que implica em
.
Passo 3
Reescrevendo a integral em termos de
, temos:
Passo 4
Agora basta integrar
. Lembrando que
, obtemos:
Substituindo de volta
, chegamos à solução.
Passo 5
Como sugestão, você pode verificar derivando
. De fato,
que é o integrando original, confirmando que a primitiva está correta.