Sejam a, b números reais com a neq 0. Calcule as integrais indefinidas.
integral 1a x+b d x (Dica. Calcule a derivada de y=1a ln (|a x+b|))

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida integral 1a x + b,dx, onde a e b são constantes reais e a neq 0. O assunto é integração de funções da forma 1/(ax+b), que usamos por substituição e a propriedade da derivada de logaritmo.

Passo 2

Para simplificar, fazemos a substituição u = a x + b. Assim, derivando ambos os lados, du = a,dx, o que implica em dx = dua.

Passo 3

Reescrevendo a integral em termos de u, temos:
integral 1a x + b ,dx = integral 1u cdot dua = 1a integral 1u ,du

Passo 4

Agora basta integrar 1/u. Lembrando que integral 1u ,du = ln|u| + C, obtemos:
1a integral 1u ,du = 1a ln|u| + C
Substituindo de volta u = a x + b, chegamos à solução.

Passo 5

Como sugestão, você pode verificar derivando y = 1a ln|a x + b|. De fato,
dydx = 1a cdot aa x + b = 1a x + b,
que é o integrando original, confirmando que a primitiva está correta.

Resposta

integral 1a x + b,dx = 1a lnl|a x + br| + C.

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