Use o Teorema do Divergente para calcular a integral de superfície integralegral duplaS F cdot d S; ou seja, calcule o fluxo de F através de S.
F(x, y, z)=x^2 y z i+x y^2 z j-x y z^2 k, S é a superfície da caixa delimitada pelos planos x=0, x=a, y=0, y=b, z=0, z=c, onde a, b e c são números positivos.

Passo 1

O enunciado pede para calcular o fluxo do campo vetorial F(x,y,z)=x^2yz,i+xy^2z,j-xyz^2,k através da superfície fechada S da caixa [0,a]times[0,b]times[0,c]. Vamos usar o Teorema do Divergente, que diz que
integral duplaSFcdot dS =integral triplaVnabla!cdot!F,dV,
onde V é o volume interior à superfície S.

Passo 2

Calculamos a divergência de F:
nabla!cdot!F =partialpartial x(x^2yz) +partialpartial y(xy^2z) +partialpartial z(-xyz^2)
Derivando cada termo, obtemos
partialpartial x(x^2yz)=2xyz, partialpartial y(xy^2z)=2xyz, partialpartial z(-xyz^2)=-2xyz
Logo,
nabla!cdot!F =2xyz+2xyz-2xyz=2xyz

Passo 3

Pelo Teorema do Divergente, o fluxo é
integral duplaSFcdot dS =integral triplaV2xyz,dV =integral0^a!integral0^b!integral0^c2xyz,dz,dy,dx

Passo 4

Como a região é um produto de intervalos, a integral separa:
integral0^a!integral0^b!integral0^c2xyz,dz,dy,dx =2l(integral0^ax,dxr)l(integral0^by,dyr)l(integral0^cz,dzr)
Cada integral unidimensional é
integral0^ax,dx=a^22, integral0^by,dy=b^22, integral0^cz,dz=c^22
Substituindo,
2cdota^22cdotb^22cdotc^22 =2,a^2b^2c^28 =a^2b^2c^24

Resposta

integral duplaSFcdot dS =a^2b^2c^24

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