Sejam a e b números reais tais que: lim x +infty[raizx^2+b x-raiza x^2+7 x]=7
Determine o valor de 13a+2b

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem que encontrar o valor de 13a + 2b sabendo que:
limx to +infty [ raizx^2 + b x - raiza x^2 + 7 x ] = 7
O conteúdo principal aqui é o cálculo de limites no infinito, especialmente envolvendo raízes quadradas. Para resolver, vamos precisar manipular expressões com raízes quadradas e entender como elas se comportam quando x cresce sem parar.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a expressão dentro do limite:
raizx^2 + b x - raiza x^2 + 7 x
Quando x tende ao infinito, os termos com x^2 vão crescer muito mais rápido que os termos com x. Então, para facilitar, podemos fatorar x^2 dentro das raízes quadradas:
raizx^2(1 + bx) - raizx^2(a + 7x)

Passo 3

Agora, vamos tirar o x de fora das raízes. Sabemos que raizx^2 = x quando x é positivo, que é o caso já que x to +infty:
x raiz1 + bx - x raiza + 7x
Isso simplifica para:
x ( raiz1 + bx - raiza + 7x )

Passo 4

Agora, vamos lembrar que para grandes valores de x, bx e 7x são bem pequenos, então podemos usar a aproximação:
raiz1 + epsilon approx 1 + epsilon2 quando epsilon é pequeno é
Aplicando isso às raízes quadradas:
raiz1 + bx approx 1 + b2x
raiza + 7x approx raiza + 72xraiza

Passo 5

Substituindo essas aproximações na expressão original:
x ( (1 + b2x) - (raiza + 72xraiza) )
Distribuindo o x:
x (1 - raiza) + x ( b2x - 72xraiza )
Simplificando:
x (1 - raiza) + b2 - 72raiza

Passo 6

Para que o limite seja finito, o termo com x deve desaparecer, ou seja, o coeficiente de x precisa ser zero:
1 - raiza = 0 implies raiza = 1 implies a = 1

Passo 7

Agora que sabemos que a = 1, substituímos na expressão simplificada:
b2 - 72raiz1 = 7
Simplificando raiz1 = 1:
b2 - 72 = 7

Passo 8

Vamos resolver para b:
b - 72 = 7 implies b - 7 = 14 implies b = 21

Resposta

O valor de 13a + 2b é:
13(1) + 2(21) = 13 + 42 = 55

Exercícios relacionados