Sejam
e
números reais tais que:
Determine o valor de
Determine o valor de
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem que encontrar o valor de
sabendo que:
O conteúdo principal aqui é o cálculo de limites no infinito, especialmente envolvendo raízes quadradas. Para resolver, vamos precisar manipular expressões com raízes quadradas e entender como elas se comportam quando
cresce sem parar.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a expressão dentro do limite:
Quando
tende ao infinito, os termos com
vão crescer muito mais rápido que os termos com
. Então, para facilitar, podemos fatorar
dentro das raízes quadradas:
Passo 3
Agora, vamos tirar o
de fora das raízes. Sabemos que
quando
é positivo, que é o caso já que
:
Isso simplifica para:
Passo 4
Agora, vamos lembrar que para grandes valores de
,
e
são bem pequenos, então podemos usar a aproximação:
Aplicando isso às raízes quadradas:
Passo 5
Substituindo essas aproximações na expressão original:
Distribuindo o
:
Simplificando:
Passo 6
Para que o limite seja finito, o termo com
deve desaparecer, ou seja, o coeficiente de
precisa ser zero:
Passo 7
Agora que sabemos que
, substituímos na expressão simplificada:
Simplificando
:
Passo 8
Vamos resolver para
:
Resposta
O valor de
é: