Sejam
e
. Obtenha então dois vetores ortonormais
e
coplanares com
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem dois vetores:
e
. A tarefa é encontrar dois vetores ortonormais, chamados
e
, que estejam no mesmo plano que
e
. Para isso, vamos usar o processo de Gram-Schmidt, que transforma vetores em uma base ortonormal. Vamos precisar entender o que é ortonormalidade e como aplicar esse processo passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que vetores ortonormais são vetores que são mutuamente perpendiculares (ou seja, o ângulo entre eles é de 90 graus) e que cada vetor tem comprimento 1. O processo de Gram-Schmidt vai nos ajudar a pegar nossos vetores
e
e transformar eles em vetores que cumpram essas condições.
Passo 3
Começamos com o primeiro vetor, que será nosso
. Para torná-lo ortonormal, precisamos primeiro normalizar
. A normalização de um vetor significa dividir ele pelo seu comprimento (ou norma). A fórmula para a norma de um vetor
é:
Vamos calcular a norma de
:
Agora, normalizamos
:
Passo 4
Agora que temos
normalizado, vamos encontrar
. Para isso, pegamos o vetor
e removemos a parte que está na direção de
, garantindo que
seja perpendicular a
. A fórmula para isso é:
Primeiro, calculamos o produto interno
:
Então, subtraímos essa projeção de
:
Passo 5
Agora, vamos normalizar
para obter
. Primeiro, calculamos a norma de
:
Então, normalizamos
:
Resposta
Os dois vetores ortonormais coplanares com
e
são:
e