Sejam u=(1,0,1) e v=(-1,0,2). Obtenha então dois vetores ortonormais w1 e w2 coplanares com u e v.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem dois vetores: u = (1, 0, 1) e v = (-1, 0, 2). A tarefa é encontrar dois vetores ortonormais, chamados w1 e w2, que estejam no mesmo plano que u e v. Para isso, vamos usar o processo de Gram-Schmidt, que transforma vetores em uma base ortonormal. Vamos precisar entender o que é ortonormalidade e como aplicar esse processo passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que vetores ortonormais são vetores que são mutuamente perpendiculares (ou seja, o ângulo entre eles é de 90 graus) e que cada vetor tem comprimento 1. O processo de Gram-Schmidt vai nos ajudar a pegar nossos vetores u e v e transformar eles em vetores que cumpram essas condições.

Passo 3

Começamos com o primeiro vetor, que será nosso w1. Para torná-lo ortonormal, precisamos primeiro normalizar u. A normalização de um vetor significa dividir ele pelo seu comprimento (ou norma). A fórmula para a norma de um vetor a = (a1, a2, a3) é:
|a| = raiza1^2 + a2^2 + a3^2
Vamos calcular a norma de u:
|u| = raiz1^2 + 0^2 + 1^2 = raiz1 + 0 + 1 = raiz2
Agora, normalizamos u:
w1 = u|u| = ( 1raiz2, 0, 1raiz2 )

Passo 4

Agora que temos w1 normalizado, vamos encontrar w2. Para isso, pegamos o vetor v e removemos a parte que está na direção de w1, garantindo que w2 seja perpendicular a w1. A fórmula para isso é:
v' = v - (v cdot w1) w1
Primeiro, calculamos o produto interno v cdot w1:
v cdot w1 = (-1) ( 1raiz2 ) + 0 cdot 0 + 2 ( 1raiz2 ) = -1 + 2raiz2 = 1raiz2
Então, subtraímos essa projeção de v:
v' = v - ( 1raiz2 ) w1 = ( -1, 0, 2 ) - ( 1raiz2 cdot 1raiz2, 0, 1raiz2 cdot 1raiz2 ) = ( -1 - 12, 0, 2 - 12 ) = ( -32, 0, 32 )

Passo 5

Agora, vamos normalizar v' para obter w2. Primeiro, calculamos a norma de v':
|v'| = raiz( -32 )^2 + 0^2 + ( 32 )^2 = raiz94 + 0 + 94 = raiz184 = raiz92 = 3raiz2
Então, normalizamos v':
w2 = v'|v'| = ( -323raiz2, 0, 323raiz2 ) = ( -raiz22, 0, raiz22 )

Resposta

Os dois vetores ortonormais coplanares com u e v são:
w1 = ( 1raiz2, 0, 1raiz2 )
e
w2 = ( -raiz22, 0, raiz22 )

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