Sendo v=(1,1,3) e u=(x, 0, z), calcule x e z de modo que u e v determinem um paralelogramo de área 5 raiz6 e que faça ângulos agudos iguais com os eixos Ox e Oz.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem dois vetores: v = (1, 1, 3) e u = (x, 0, z). A tarefa é encontrar os valores de x e z que fazem com que:
  1. O paralelogramo formado por esses vetores tenha uma área de 5raiz6.
  2. Vetores u e v façam ângulos agudos iguais com os eixos Ox e Oz.
Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular a área de um paralelogramo formado por dois vetores e como determinar os ângulos que um vetor faz com os eixos coordenados.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a área do paralelogramo formado por u e v. A área é dada pelo módulo do produto vetorial desses vetores, ou seja:
Área = |u times v| Á
Vamos calcular o produto vetorial u times v:
u times v = i & j & k x & 0 & z 1 & 1 & 3
Calculando o determinante:
  • Componente i: (0)(3) - (z)(1) = -z
  • Componente j: -[(x)(3) - (z)(1)] = -(3x - z) = z - 3x
  • Componente k: (x)(1) - (0)(1) = x
Então, o produto vetorial é:
u times v = (-z, z - 3x, x)

Passo 3

Agora, vamos calcular o módulo desse produto vetorial para igualar à área dada:
|u times v| = raiz(-z)^2 + (z - 3x)^2 + x^2 = 5raiz6
Simplificando:
z^2 + (z - 3x)^2 + x^2 = 150
Expandindo:
z^2 + z^2 - 6xz + 9x^2 + x^2 = 150 2z^2 - 6xz + 10x^2 = 150
Dividindo todos os termos por 2 para simplificar:
z^2 - 3xz + 5x^2 = 75 (Equação 1) çã

Passo 4

Agora, vamos tratar da condição dos ângulos. Queremos que os ângulos que os vetores u e v fazem com os eixos Ox e Oz sejam iguais e agudos.
Para um vetor a = (ax, ay, az), o cosseno do ângulo que ele faz com o eixo Ox é:
cos thetax = ax|a|
E com o eixo Oz:
cos thetaz = az|a|
Queremos que cos thetax = cos thetaz, ou seja:
x|u| = z|u| Rightarrow x = z
Então, temos que x e z são iguais.

Passo 5

Com a informação de que x = z, vamos substituir z por x na Equação 1:
x^2 - 3x cdot x + 5x^2 = 75 x^2 - 3x^2 + 5x^2 = 75 3x^2 = 75 x^2 = 25 x = pm 5
Como estamos falando de ângulos agudos, consideramos apenas valores positivos para x e z:
x = 5 z = 5

Resposta

Os valores são x = 5 e z = 5.

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