Sejam f(x)=x^2-4 x+1 e g(x)=x^2-1. Obtenha as leis que definem as funções (f circ g) e (g circ f).
Resp: (f circ g)(x)=x^4-6 x^2+6 ;(g circ f)(x)=x^4-8 x^3+18 x^2-8 x

Passo 1

O enunciado dá duas funções, f(x)=x^2-4x+1 e g(x)=x^2-1, e pede para compor uma na outra. O conteúdo é composição de funções, que consiste em substituir a saída de uma na entrada da outra.

Passo 2

Para obter (fcirc g)(x) calculamos f(g(x)). Primeiro escrevemos
f(g(x))=(g(x))^2-4,g(x)+1
Substituindo g(x)=x^2-1:
(x^2-1)^2-4(x^2-1)+1
Agora expandimos e simplificamos:
(x^2-1)^2=x^4-2x^2+1
Logo:
x^4-2x^2+1-4x^2+4+1=x^4-6x^2+6

Passo 3

Para obter (gcirc f)(x) calculamos g(f(x)). Primeiro escrevemos
g(f(x))=(f(x))^2-1
Substituindo f(x)=x^2-4x+1:
(x^2-4x+1)^2-1
Expandindo o quadrado:
(x^2-4x+1)^2=x^4-8x^3+18x^2-8x+1
Subtraindo 1:
x^4-8x^3+18x^2-8x+1-1=x^4-8x^3+18x^2-8x

Resposta

(fcirc g)(x)=x^4-6x^2+6 e (gcirc f)(x)=x^4-8x^3+18x^2-8x

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