Sejam T: V V e S: W W operadores lineares, onde [T]B=[ccc1 & 2 & 1 0 & 5 & 2 -1 & 3 & 2] e [S]C=[cccc1 & 2 & 3 & 4 0 & -1 & 3 & 2 0 & 0 & 3 & 3 0 & 0 & 0 & 2], para determinadas bases B e C de V e W respectivamente. Procure observar neste exercício as seguintes propriedades:
(c) Os autovalores de uma transformação linear cuja matriz com respeito a uma base é triangular, os autovalores são os elementos da diagonal principal.

Passo 1

O enunciado nos dá dois operadores lineares
,Tcolon Vto V\ com matriz em relação à base B
[T]B = 1 & 2 & 1 0 & 5 & 2 -1 & 3 & 2
e
,Scolon Wto W\ com matriz em relação à base C
[S]C = 1 & 2 & 3 & 4 0 & -1 & 3 & 2 0 & 0 & 3 & 3 0 & 0 & 0 & 2
O que precisamos é encontrar os autovalores de cada transformação usando a propriedade de que, em uma matriz triangular, os autovalores são exatamente os elementos da diagonal principal.

Passo 2

Para T, a matriz [T]B é triangular (não necessariamente superior ou inferior?), mas de fato os elementos acima (e abaixo) da diagonal não importam: os autovalores são
lambda1 = 1, lambda2 = 5, lambda3 = 2

Passo 3

Para S, a matriz [S]C é estritamente superior triangular. Logo os seus autovalores são os elementos da diagonal principal, ou seja,
mu1 = 1, mu2 = -1, mu3 = 3, mu4 = 2

Resposta

Os autovalores de T são
1,,5,,2
e os autovalores de S são
1,,-1,,3,,2

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