Sejam e operadores lineares, onde e [S]C=[cccc1 & 2 & 3 & 4 0 & -1 & 3 & 2 0 & 0 & 3 & 3 0 & 0 & 0 & 2], para determinadas bases B e C de V e W respectivamente. Procure observar neste exercício as seguintes propriedades:
(a) Se um operador admite lambda=0 como autovalor, então T não é inversível.
Passo 1
O enunciado nos dá um operador linear T:Vto V cuja matriz em certa base B é
[T]B = 1 & 2 & 1 0 & 5 & 2 -1& 3 & 2
e lembra a propriedade: “se 0 é autovalor de T, então T não é inversível”. Vamos usar isso junto com o fato de que T é inversível se, e somente se, det[T]Bneq0, o que também equivale a dizer que 0 não é autovalor de T.
Passo 2
Lembrando o teorema fundamental de álgebra linear para operadores em dimensão finita:
T é inversível Long<=ftrightarrow detl([T]Br)neq0 Long<=ftrightarrow 0 não é autovalor de T éíãé
Passo 3
Vamos calcular det[T]B diretamente pela primeira linha:
Como det[T]B=5neq0, concluímos que T é inversível. Pelas equivalências do passo 2, isso também implica que 0não é autovalor de T, confirmando a propriedade (a).
Resposta
O operador T é inversível, pois det[T]B=5neq0 e, portanto, 0 não é autovalor de T.