Sejam T: V V e S: W W operadores lineares, onde [T]B=[ccc1 & 2 & 1 0 & 5 & 2 -1 & 3 & 2] e [S]C=[cccc1 & 2 & 3 & 4 0 & -1 & 3 & 2 0 & 0 & 3 & 3 0 & 0 & 0 & 2], para determinadas bases B e C de V e W respectivamente. Procure observar neste exercício as seguintes propriedades:
(a) Se um operador admite lambda=0 como autovalor, então T não é inversível.

Passo 1

O enunciado nos dá um operador linear T:Vto V cuja matriz em certa base B é
[T]B = 1 & 2 & 1 0 & 5 & 2 -1& 3 & 2
e lembra a propriedade: “se 0 é autovalor de T, então T não é inversível”. Vamos usar isso junto com o fato de que T é inversível se, e somente se, det[T]Bneq0, o que também equivale a dizer que 0 não é autovalor de T.

Passo 2

Lembrando o teorema fundamental de álgebra linear para operadores em dimensão finita:
T é inversível Long<=ftrightarrow detl([T]Br)neq0 Long<=ftrightarrow 0 não é autovalor de T éíãé

Passo 3

Vamos calcular det[T]B diretamente pela primeira linha:
det 1 & 2 & 1 0 & 5 & 2 -1& 3 & 2 =1cdotdet5&23&2 -2cdotdet0&2-1&2 +1cdotdet0&5-1&3
Agora cada cofator:
det5&23&2=5cdot2-2cdot3=10-6=4,
det0&2-1&2=0cdot2-2cdot(-1)=2,
det0&5-1&3=0cdot3-5cdot(-1)=5
Substituindo:
det[T]B =1cdot4-2cdot2+1cdot5 =4-4+5 =5

Passo 4

Como det[T]B=5neq0, concluímos que T é inversível. Pelas equivalências do passo 2, isso também implica que 0 não é autovalor de T, confirmando a propriedade (a).

Resposta

O operador T é inversível, pois det[T]B=5neq0 e, portanto, 0 não é autovalor de T.

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