Verifique se as afirmações são verdadeiras ou falsas e justifique sua resposta.
(c) Se v1, v2 e v3 são vetores de auto-espaços distintos, então é impossível escrever v3 como combinação linear de v1 e v2.

Passo 1

O enunciado considera três vetores v1,v2,v3 que são autovetores de uma transformação linear A correspondentes a autovalores distintos lambda1,lambda2,lambda3. Pergunta-se se é possível escrever v3 como combinação linear de v1 e v2. Para resolver, vamos usar o resultado sobre independência linear de autovetores de autovalores diferentes.

Passo 2

Teorema fundamental: se lambda1,lambda2,dots,lambdak são k autovalores distintos de A e vi é um autovetor associado a lambdai para cada i, então o conjunto v1,v2,dots,vk é linearmente independente.

Passo 3

Prova por contradição (caso k=3): suponha que existam escalares a,b tais que
v3 ;=; a,v1 + b,v2
Aplicando A em ambos os lados e usando A vi=lambdaivi, obtemos
A v3 = a,A v1 + b,A v2 = a,lambda1v1 + b,lambda2v2,
por outro lado
A v3 = lambda3v3 = lambda3l(a,v1+b,v2r) = a,lambda3v1 + b,lambda3v2
Igualando as duas expressões:
a(lambda1-lambda3),v1 ;+; b(lambda2-lambda3),v2 ;=; 0
Como lambdai são distintos, lambda1-lambda3neq0 e lambda2-lambda3neq0, e v1,v2neq0, segue que a=0 e b=0. Isso forçaria v3=0, o que contradiz a definição de autovetor (não-nulo).

Passo 4

Logo, não existem escalares a,b não-triviais tais que v3=a,v1+b,v2. Isso mostra que v3 não pode ser combinação linear de v1 e v2.

Resposta

Verdadeira.

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