Verifique se as afirmações são verdadeiras ou falsas e justifique sua resposta.
(c) Se
e
são vetores de auto-espaços distintos, então é impossível escrever
como combinação linear de
e
.
(c) Se
Passo 1
O enunciado considera três vetores
que são autovetores de uma transformação linear
correspondentes a autovalores distintos
. Pergunta-se se é possível escrever
como combinação linear de
e
. Para resolver, vamos usar o resultado sobre independência linear de autovetores de autovalores diferentes.
Passo 2
Teorema fundamental: se
são
autovalores distintos de
e
é um autovetor associado a
para cada
, então o conjunto
é linearmente independente.
Passo 3
Prova por contradição (caso
): suponha que existam escalares
tais que
Aplicando
em ambos os lados e usando
, obtemos
por outro lado
Igualando as duas expressões:
Como
são distintos,
e
, e
, segue que
e
. Isso forçaria
, o que contradiz a definição de autovetor (não-nulo).
Passo 4
Logo, não existem escalares
não-triviais tais que
. Isso mostra que
não pode ser combinação linear de
e
.
Resposta
Verdadeira.