Verifique se as afirmações são verdadeiras ou falsas e justifique sua resposta.
(c) Seja
uma transformação linear. Se
, então uma condição suficiente para que
seja diagonalizável é que
tenha
autovalores distintos.
(c) Seja
Passo 1
O enunciado pergunta se é verdade que, em um espaço vetorial
de dimensão
, uma transformação linear
será necessariamente diagonalizável sempre que tiver
autovalores distintos. Estamos no tema de diagonalização de endomorfismos e vamos usar o fato fundamental de que vetores próprios associados a autovalores distintos são linearmente independentes.
Passo 2
Lembramos do seguinte teorema: se
são autovalores distintos de
e
são vetores próprios correspondentes (isto é,
), então o conjunto
é linearmente independente.
Passo 3
No nosso caso há
autovalores distintos
. Pelo teorema acima, podemos escolher vetores próprios
todos não nulos e associados a esses autovalores, e
será um conjunto de
vetores linearmente independentes em
.
Passo 4
Como
, qualquer conjunto de
vetores linearmente independentes forma uma base de
. Logo
é uma base de
formada por vetores próprios de
.
Passo 5
Tendo uma base de vetores próprios, a matriz de
nessa base é diagonal, o que significa exatamente que
é diagonalizável. Portanto a condição dada é suficiente para diagonalização.
Resposta
Verdadeira.