Verifique se as afirmações são verdadeiras ou falsas e justifique sua resposta.
(c) Seja T: V V uma transformação linear. Se dim V=n, então uma condição suficiente para que T seja diagonalizável é que T tenha n autovalores distintos.

Passo 1

O enunciado pergunta se é verdade que, em um espaço vetorial V de dimensão n, uma transformação linear T:Vto V será necessariamente diagonalizável sempre que tiver n autovalores distintos. Estamos no tema de diagonalização de endomorfismos e vamos usar o fato fundamental de que vetores próprios associados a autovalores distintos são linearmente independentes.

Passo 2

Lembramos do seguinte teorema: se lambda1,dots,lambdak são autovalores distintos de T e v1,dots,vk são vetores próprios correspondentes (isto é, T(vi)=lambdai vi), então o conjunto v1,dots,vk é linearmente independente.

Passo 3

No nosso caso há n autovalores distintos lambda1,dots,lambdan. Pelo teorema acima, podemos escolher vetores próprios v1,dots,vn todos não nulos e associados a esses autovalores, e v1,dots,vn será um conjunto de n vetores linearmente independentes em V.

Passo 4

Como dim V=n, qualquer conjunto de n vetores linearmente independentes forma uma base de V. Logo v1,dots,vn é uma base de V formada por vetores próprios de T.

Passo 5

Tendo uma base de vetores próprios, a matriz de T nessa base é diagonal, o que significa exatamente que T é diagonalizável. Portanto a condição dada é suficiente para diagonalização.

Resposta

Verdadeira.

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