Sejam: P(C cup B)=1, P(A cup C)=0.94, P(A)=0.8, P(B)=0.5 e P(C)=0.7.
Classifique as seguintes afirmações por verdadeira (V) ou falsa (F):
P(B cap A)<0.2 F

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá várias probabilidades envolvendo os eventos $ A $, $ B $ e $ C $. Nosso objetivo é classificar a afirmação $ P(B \cap A) < 0,2 $ como verdadeira (V) ou falsa (F). Para resolver isso, vamos usar conceitos de probabilidade, especialmente a regra da inclusão-exclusão.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa $ P(B \cap A) $. Essa notação representa a probabilidade de que os eventos $ A $ e $ B $ aconteçam simultaneamente. Nosso objetivo é descobrir se essa probabilidade é menor que 0,2.

Passo 3

Vamos listar os valores que temos:
  • $ P(C \cup B) = 1 $
  • $ P(A \cup C) = 0,94 $
  • $ P(A) = 0,8 $
  • $ P(B) = 0,5 $
  • $ P© = 0,7 $

Passo 4

Sabemos que $ P(C \cup B) = 1 $ significa que, ou $ C $ ocorre, ou $ B $ ocorre, ou ambos. Isso indica que a união de $ C $ e $ B $ cobre todo o espaço amostral.

Passo 5

Vamos calcular $ P(C \cap B) $ usando a regra da inclusão-exclusão:
P(C cap B)
Substituindo os valores:
P(C cup B) = P(C) + P(B) - P(C cap B)
1 = 0,7 + 0,5 - P(C cap B)
1 = 1,2 - P(C cap B)
Então, $ P(C \cap B) = 0,2 $.

Passo 6

Agora, vamos calcular $ P(A \cap C) $ usando a mesma regra:
P(A cap C)
Substituindo:
P(A cup C) = P(A) + P(C) - P(A cap C)
0,94 = 0,8 + 0,7 - P(A cap C)
0,94 = 1,5 - P(A cap C)
Então, $ P(A \cap C) = 0,56 $.

Passo 7

Sabemos que a probabilidade total de $ A $ pode ser dividida entre quando $ A $ ocorre com $ B $ e com $ C $:
A
Substituindo os valores conhecidos:
A
B
Portanto, $ P(A \cap B) = 0,24 $.

Resposta

A afirmação $ P(B \cap A) < 0,2 $ é Falsa (F), pois $ P(A \cap B) = 0,24 $ é maior que 0,2.

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