Sejam p, q in H. Prove que sc(p q barp)=0.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, ao conjugar um quaternion q por outro quaternion qualquer p, o resultado p,q,bar p tem parte escalar nula. Em linguagem de quaternions, a “parte escalar” de um quaternion x é sc(x). Vamos usar duas propriedades fundamentais:
  1. Para quaisquer quaternions x,y vale
sc(xy)=sc(yx)
  1. O módulo (norma) de p satisfaz
|p|^2 = p,bar p = bar p,p,
que é um número real.

Passo 2

Aplicando a propriedade de troca de lugar dentro da parte escalar, temos
scl(p,q,bar pr) =scl(bar p,(p,q)r) =scl((bar p,p),qr)

Passo 3

Mas bar p,p=|p|^2 é um real, então
scl((bar p,p),qr) =scl(|p|^2,qr)

Passo 4

Como |p|^2 é real, podemos tirá-lo para fora da parte escalar:
scl(|p|^2,qr) =|p|^2,sc(q)
Se assumirmos que q é um quaternion puro (isto é, sc(q)=0), então
|p|^2,sc(q)=|p|^2cdot 0=0

Resposta

boxedsc(p,q,bar p)=0

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