Verifique a relação sc(q v barq)=0, onde q=i+j+k, v=1-i-j-k.

Passo 1

O enunciado pede para verificar que a parte escalar de
q,v,bar q
é zero, onde q=i+j+k e v=i-j-k (ou seja, v é um quaternion puro, sem parte real). Para isso precisamos usar as regras de multiplicação de quaternions:
  1. i^2=j^2=k^2=-1
  2. ij=k,; jk=i,; ki=j e trocando a ordem muda o sinal (por ex. ji=-k).
  3. A conjugação inverte o sinal das partes imaginárias:
bar q=-i-j-k

Passo 2

Calculemos primeiro
q,v=(i+j+k),(i-j-k)
Distribuindo termo a termo:
i(i-j-k) = i^2 - i,j - i,k = -1 - k + j,
j(i-j-k) = j,i - j^2 - j,k = -k +1 - i,
k(i-j-k) = k,i - k,j - k^2 = j + i +1
Somando:
q,v =(-1- k + j)+(-k+1 -i)+(j+i+1) =1 + 0,i +2,j -2,k =1 +2j -2k

Passo 3

Agora multiplicamos pelo conjugado bar q=-i-j-k:
(1+2j-2k),(-i-j-k)
Novamente distribuindo:
1cdot(-i-j-k) = -i - j - k,
2jcdot(-i-j-k) = 2l(j(-i)-j^2 -j,kr) =2l(k+1 -ir)=2k+2-2i,
-2kcdot(-i-j-k) = -2l(k(-i)-k,j -k^2r) =-2l(j + i +1r)=2j-2i-2
Somando tudo:
-,i-j-k;+;(2k+2-2i);+;(2j-2i-2) =0;;+;(-5i+1j+1k)
A parte escalar (o número puro, sem i,j,k) é 0.

Resposta

sc(q,v,bar q)=0

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