Sejam
e
polinômios com coeficientes reais e
um número real.
É correto afirmar que
? Justifique.
É correto afirmar que
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
-
é um polinômio com coeficientes reais. -
é outro polinômio (essa informação não é necessária para a pergunta, mas está presente). -
é um número real qualquer.
A pergunta é: é correto afirmar que? Peço para justificá-la.
Passo 2
Vou lembrar o que significa a expressão
em termos formais (definição
-
):
significa que, para todo
, existe
tal que, sempre que
, vale
.
Quando isso acontece e ainda está definido, dizemos que
é contínua em
. A pergunta equivale a perguntar se todo polinômio
é contínuo em todo
.
Quando isso acontece e ainda
Passo 3
Mostro primeiro um fato simples e básico: a função identidade
satisfaz
Prova direta pelo critério
-
: dado
basta tomar
. Se
então
, ou seja
. Logo a identidade tem limite
em
.
Passo 4
Vou enunciar e justificar rapidamente as regras de limite que vou usar (são regras padrão de cálculo):
- Soma e múltiplo escalar: se
e então
para qualquer constante real
.
- Produto: se
e então
Justificação curta (intuitiva/formal mínima): pela definição
-
pode controlar separadamente
e
e usar a desigualdade
para obter a conclusão escolhendo
que faça os dois termos pequenos. Essas propriedades são básicas e podem ser provadas rigorosamente com a definição
-
.
Passo 5
Usando as regras acima, obtenho que potências da identidade têm limite correspondente às potências do ponto. Precisamente, mostro por indução que, para todo inteiro
,
- Base
: , então . - Passo indutivo: suponha
. Como e pelo produto de limites,
Isso fecha a indução.
Passo 6
Agora escrevo o polinômio
em sua forma usual:
onde os
são números reais. Aplicando as regras de limite (multiplicação por constante e soma) e o resultado do Passo 5 para cada potência, obtenho
O lado direito é exatamente
. Portanto
Passo 7
Comentário final e intuição: a razão prática é que polinômios são combinações finitas (somas e produtos) da função identidade
, e soma/produto preservam limites; como a identidade tem limite óbvio em
, a mesma propriedade passa para qualquer potência e depois para qualquer combinação linear finita — isto é a ideia de continuidade de polinômios. Isso vale para todo
.
Resposta
Sim.
.