Sejam p(x) e h(x) polinômios com coeficientes reais e x_{0} um número real.
É correto afirmar que \lim _{x \rightarrow x_{0}} p(x)=p\left(x_{0}\right) ? Justifique.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • p(x) é um polinômio com coeficientes reais.
  • h(x) é outro polinômio (essa informação não é necessária para a pergunta, mas está presente).
  • x_{0} é um número real qualquer.
    A pergunta é: é correto afirmar que \lim_{x\to x_{0}} p(x)=p(x_{0})? Peço para justificá-la.

Passo 2

Vou lembrar o que significa a expressão \lim_{x\to x_{0}} f(x)=L em termos formais (definição \varepsilon- \delta):
\lim_{x\to x_{0}} f(x)=L
significa que, para todo \varepsilon>0, existe \delta>0 tal que, sempre que 0<|x-x_{0}|<\delta, vale |f(x)-L|<\varepsilon.
Quando isso acontece e ainda f(x_{0}) está definido, dizemos que f é contínua em x_{0}. A pergunta equivale a perguntar se todo polinômio p é contínuo em todo x_{0}.

Passo 3

Mostro primeiro um fato simples e básico: a função identidade f(x)=x satisfaz
\lim_{x\to x_{0}} x = x_{0}.
Prova direta pelo critério \varepsilon- \delta: dado \varepsilon>0 basta tomar \delta=\varepsilon. Se 0<|x-x_{0}|<\delta então |x-x_{0}|<\varepsilon, ou seja |x-x_{0}|<\varepsilon. Logo a identidade tem limite x_{0} em x_{0}.

Passo 4

Vou enunciar e justificar rapidamente as regras de limite que vou usar (são regras padrão de cálculo):
  • Soma e múltiplo escalar: se \lim_{x\to x_{0}} f(x)=L e \lim_{x\to x_{0}} g(x)=M então
\lim_{x\to x_{0}} \big(f(x)+g(x)\big)=L+M \qquad\text{e}\qquad \lim_{x\to x_{0}} \big(c\cdot f(x)\big)=c\cdot L
para qualquer constante real c.
  • Produto: se \lim_{x\to x_{0}} f(x)=L e \lim_{x\to x_{0}} g(x)=M então
\lim_{x\to x_{0}} \big(f(x)\,g(x)\big)=L\,M.
Justificação curta (intuitiva/formal mínima): pela definição \varepsilon- \delta pode controlar separadamente |f(x)-L| e |g(x)-M| e usar a desigualdade
|f(x)g(x)-LM|\le |f(x)|\,|g(x)-M|+|M|\,|f(x)-L|
para obter a conclusão escolhendo \delta que faça os dois termos pequenos. Essas propriedades são básicas e podem ser provadas rigorosamente com a definição \varepsilon- \delta.

Passo 5

Usando as regras acima, obtenho que potências da identidade têm limite correspondente às potências do ponto. Precisamente, mostro por indução que, para todo inteiro n\ge 0,
\lim_{x\to x_{0}} x^{n} = x_{0}^{n}.
  • Base n=0: x^{0}=1, então \lim_{x\to x_{0}} x^{0}=1=x_{0}^{0}.
  • Passo indutivo: suponha \lim_{x\to x_{0}} x^{n}=x_{0}^{n}. Como \lim_{x\to x_{0}} x = x_{0} e pelo produto de limites,
\lim_{x\to x_{0}} x^{n+1} = \lim_{x\to x_{0}} \big(x^{n}\cdot x\big) = \big(\lim_{x\to x_{0}} x^{n}\big)\cdot \big(\lim_{x\to x_{0}} x\big) = x_{0}^{n}\cdot x_{0}=x_{0}^{n+1}.
Isso fecha a indução.

Passo 6

Agora escrevo o polinômio p(x) em sua forma usual:
p(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_{1}x+a_{0},
onde os a_{k} são números reais. Aplicando as regras de limite (multiplicação por constante e soma) e o resultado do Passo 5 para cada potência, obtenho
\lim_{x\to x_{0}} p(x) = \lim_{x\to x_{0}}\Big(a_{n}x^{n}\Big)+\cdots+\lim_{x\to x_{0}}\Big(a_{1}x\Big)+\lim_{x\to x_{0}} a_{0} = a_{n}x_{0}^{n}+\cdots+a_{1}x_{0}+a_{0}.
O lado direito é exatamente p(x_{0}). Portanto
\lim_{x\to x_{0}} p(x)=p(x_{0}).

Passo 7

Comentário final e intuição: a razão prática é que polinômios são combinações finitas (somas e produtos) da função identidade x, e soma/produto preservam limites; como a identidade tem limite óbvio em x_{0}, a mesma propriedade passa para qualquer potência e depois para qualquer combinação linear finita — isto é a ideia de continuidade de polinômios. Isso vale para todo x_{0}\in\mathbb{R}.

Resposta

Sim. \displaystyle \lim_{x\to x_{0}} p(x)=p(x_{0}).

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