Usando a Proposição e sabendo que para cada número real
vale
calcule e justifique os limites abaixo:
;
Passo 1
O enunciado pede que se calcule e justifique o limite
Informações dadas e claras no enunciado:
- Para todo
vale . - Para todo
vale .
Aqui queremos o caso com. O objetivo é usar essas informações e as propriedades de limite (soma, produto, constante multiplicativa e composição com funções contínuas) para avaliar o limite da expressão composta.
Passo 2
Lembrete das propriedades de limite que vamos usar (explicadas de maneira simples):
- Se
e é constante, então . (constante sai da limitação) - Se
e , então e . (limite preserva soma e produto) - Se
, então para qualquer inteiro vale . Isso se obtém aplicando a regra do produto repetidas vezes. - Se
é contínua em e , então . Em particular, a função raiz quadrada é contínua em (e em todo ), logo .
Essas regras permitem decompor o limite da expressão em limites mais simples.
Passo 3
Primeiro, usando
e a propriedade das potências:
Explicação curta: como
e
, aplicam-se as regras do produto repetidas vezes ao limite de
.
Passo 4
Agora calculemos o limite de cada termo da soma, usando que constantes podem ser multiplicadas para fora do limite:
- Para o primeiro termo,
é constante, então
- Para o segundo termo,
- Para o terceiro termo,
- Para o quarto termo, usamos continuidade da raiz em
:
Observação didática: a passagem
é válida porque a função
é contínua em
. Se preferir enxergar sem falar em continuidade: a raiz quadrada não tem salto em
, então a aproximação dos
para
faz a raiz aproximar a
.
Passo 5
Agora reúnem-se os limites dos termos usando a propriedade da soma:
Calcule as constantes:
Portanto o limite é