Usando a Proposição e sabendo que para cada número real x_{0} vale
\lim _{x \rightarrow x_{0}} x=x_{0} \quad \text { e } \quad \lim _{x \rightarrow x_{0}} 1=1,
calcule e justifique os limites abaixo:
\lim _{x \rightarrow 1}\left(\pi x^{3}+2 x^{2}-3 x+4 \sqrt{x}\right);

Passo 1

O enunciado pede que se calcule e justifique o limite
\lim_{x\to 1}\left(\pi x^{3}+2x^{2}-3x+4\sqrt{x}\right).
Informações dadas e claras no enunciado:
  • Para todo x_{0} vale \displaystyle \lim_{x\to x_{0}} x = x_{0}.
  • Para todo x_{0} vale \displaystyle \lim_{x\to x_{0}} 1 = 1.
    Aqui queremos o caso com x_{0}=1. O objetivo é usar essas informações e as propriedades de limite (soma, produto, constante multiplicativa e composição com funções contínuas) para avaliar o limite da expressão composta.

Passo 2

Lembrete das propriedades de limite que vamos usar (explicadas de maneira simples):
  • Se \displaystyle \lim_{x\to a} f(x)=L e c é constante, então \displaystyle \lim_{x\to a} c\cdot f(x)=c\cdot L. (constante sai da limitação)
  • Se \displaystyle \lim_{x\to a} f(x)=L e \displaystyle \lim_{x\to a} g(x)=M, então \displaystyle \lim_{x\to a} (f(x)+g(x))=L+M e \displaystyle \lim_{x\to a} (f(x)\cdot g(x))=L\cdot M. (limite preserva soma e produto)
  • Se \displaystyle \lim_{x\to a} f(x)=L, então para qualquer inteiro n\ge 1 vale \displaystyle \lim_{x\to a} (f(x))^{n}=L^{n}. Isso se obtém aplicando a regra do produto repetidas vezes.
  • Se g é contínua em L e \displaystyle \lim_{x\to a} f(x)=L, então \displaystyle \lim_{x\to a} g(f(x))=g(L). Em particular, a função raiz quadrada \sqrt{\cdot} é contínua em x=1 (e em todo x>0), logo \displaystyle \lim_{x\to 1}\sqrt{x}=\sqrt{1}.
    Essas regras permitem decompor o limite da expressão em limites mais simples.

Passo 3

Primeiro, usando \displaystyle \lim_{x\to 1} x = 1 e a propriedade das potências:
\lim_{x\to 1} x^{2} = \bigl(\lim_{x\to 1} x\bigr)^{2} = 1^{2}=1,
\lim_{x\to 1} x^{3} = \bigl(\lim_{x\to 1} x\bigr)^{3} = 1^{3}=1.
Explicação curta: como x^{2}=x\cdot x e x^{3}=x\cdot x\cdot x, aplicam-se as regras do produto repetidas vezes ao limite de x.

Passo 4

Agora calculemos o limite de cada termo da soma, usando que constantes podem ser multiplicadas para fora do limite:
  • Para o primeiro termo, \pi é constante, então
\lim_{x\to 1} \pi x^{3} = \pi\cdot \lim_{x\to 1} x^{3} = \pi\cdot 1 = \pi.
  • Para o segundo termo,
\lim_{x\to 1} 2x^{2} = 2\cdot \lim_{x\to 1} x^{2} = 2\cdot 1 = 2.
  • Para o terceiro termo,
\lim_{x\to 1} (-3)x = -3\cdot \lim_{x\to 1} x = -3\cdot 1 = -3.
  • Para o quarto termo, usamos continuidade da raiz em 1:
\lim_{x\to 1} 4\sqrt{x} = 4\cdot \lim_{x\to 1} \sqrt{x} = 4\cdot \sqrt{1} = 4\cdot 1 = 4.
Observação didática: a passagem \lim_{x\to 1}\sqrt{x}=\sqrt{1} é válida porque a função \sqrt{\cdot} é contínua em 1. Se preferir enxergar sem falar em continuidade: a raiz quadrada não tem salto em 1, então a aproximação dos x para 1 faz a raiz aproximar a 1.

Passo 5

Agora reúnem-se os limites dos termos usando a propriedade da soma:
\lim_{x\to 1}\bigl(\pi x^{3}+2x^{2}-3x+4\sqrt{x}\bigr) = \pi + 2 + (-3) + 4.
Calcule as constantes:
2 + (-3) + 4 = 2-3+4 = 3.
Portanto o limite é
\pi + 3.

Resposta

\pi+3

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