Usando a Proposição e sabendo que para cada número real x_{0} vale
\lim _{x \rightarrow x_{0}} x=x_{0} \quad \text { e } \quad \lim _{x \rightarrow x_{0}} 1=1,
calcule e justifique os limites abaixo:
\lim _{x \rightarrow-1} \frac{2 x^{2}+3 x+1}{x^{2}-2 x-3}.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos é dado:
  • Pede-se calcular o limite
\lim_{x\to -1} \frac{2x^{2}+3x+1}{x^{2}-2x-3}.
  • Foi dada a Proposição (lembrete útil): para cada real x_{0} vale
\lim_{x\to x_{0}} x = x_{0}\qquad\text{e}\qquad \lim_{x\to x_{0}} 1 = 1,
e podemos usar as propriedades usuais de limites (soma, produto, quociente) quando aplicáveis.

Passo 2

Primeiro teste: tentar substituir x=-1 diretamente (uso da propriedade de que polinômios são contínuos e a regra do quociente quando o denominador não é zero).
Calcular o numerador em x=-1:
2(-1)^{2}+3(-1)+1 = 2\cdot1 -3 +1 = 0.
Calcular o denominador em x=-1:
(-1)^{2}-2(-1)-3 = 1 +2 -3 = 0.
Como obtemos a forma indeterminada 0/0, a substituição direta não resolve o limite. Então precisamos manipular a expressão algébrica para eliminar a indeterminação.

Passo 3

Tentar fatorar o numerador \;2x^{2}+3x+1\;.
Para fatorar um quadrático ax^{2}+bx+c podemos encontrar suas raízes usando a fórmula quadrática. Aqui a=2, b=3, c=1. O discriminante é
\Delta = b^{2}-4ac = 3^{2}-4\cdot2\cdot1 = 9-8 = 1.
As raízes são
x = \frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-3\pm1}{4}.
Logo as raízes são x = \dfrac{-3+1}{4} = -\dfrac{1}{2} e x = \dfrac{-3-1}{4} = -1.
Assim podemos escrever (usando as raízes) o numerador fatorado:
2x^{2}+3x+1 = (2x+1)(x+1).

Passo 4

Fatorar o denominador \;x^{2}-2x-3\;.
Resolver x^{2}-2x-3=0. As raízes são fáceis de ver por inspeção ou pela fórmula:
x = \frac{2\pm\sqrt{(-2)^{2}-4\cdot1\cdot(-3)}}{2}=\frac{2\pm\sqrt{4+12}}{2}=\frac{2\pm4}{2}.
Portanto as raízes são x=3 e x=-1. Assim
x^{2}-2x-3=(x-3)(x+1).

Passo 5

Substituir as fatorações na expressão original e cancelar o fator comum (x+1).
Temos, para x\neq -1,
\frac{2x^{2}+3x+1}{x^{2}-2x-3} = \frac{(2x+1)(x+1)}{(x-3)(x+1)} = \frac{2x+1}{x-3}.
A igualdade acima vale para todo x diferente de -1 (não podemos cancelar quando x=-1 porque aí as duas expressões originais não estão definidas), mas para calcular o limite quando x\to -1 basta saber o comportamento para x próximos de -1, x\neq-1.

Passo 6

Usar agora a propriedade de limites: a função racional simplificada \dfrac{2x+1}{x-3} é contínua em x=-1 (denominador não nulo em -1), então o limite quando x\to -1 é obtido por substituição direta.
Calcular
\lim_{x\to -1}\frac{2x+1}{x-3} = \frac{2(-1)+1}{-1-3} = \frac{-2+1}{-4} = \frac{-1}{-4} = \frac{1}{4}.

Resposta

\dfrac{1}{4}

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