Usando a Proposição e sabendo que para cada número real
vale
calcule e justifique os limites abaixo:
.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos é dado:
- Pede-se calcular o limite
- Foi dada a Proposição (lembrete útil): para cada real
vale
e podemos usar as propriedades usuais de limites (soma, produto, quociente) quando aplicáveis.
Passo 2
Primeiro teste: tentar substituir
diretamente (uso da propriedade de que polinômios são contínuos e a regra do quociente quando o denominador não é zero).
Calcular o numerador em
:
Calcular o denominador em
:
Como obtemos a forma indeterminada
, a substituição direta não resolve o limite. Então precisamos manipular a expressão algébrica para eliminar a indeterminação.
Passo 3
Tentar fatorar o numerador
.
Para fatorar um quadrático
podemos encontrar suas raízes usando a fórmula quadrática. Aqui
,
,
. O discriminante é
As raízes são
Logo as raízes são
e
.
Assim podemos escrever (usando as raízes) o numerador fatorado:
Passo 4
Fatorar o denominador
.
Resolver
. As raízes são fáceis de ver por inspeção ou pela fórmula:
Portanto as raízes são
e
. Assim
Passo 5
Substituir as fatorações na expressão original e cancelar o fator comum
.
Temos, para
,
A igualdade acima vale para todo
diferente de
(não podemos cancelar quando
porque aí as duas expressões originais não estão definidas), mas para calcular o limite quando
basta saber o comportamento para
próximos de
,
.
Passo 6
Usar agora a propriedade de limites: a função racional simplificada
é contínua em
(denominador não nulo em
), então o limite quando
é obtido por substituição direta.
Calcular