Sejam p(x) e h(x) polinômios com coeficientes reais e x_{0} um número real.
Se c é uma constante real, é correto afirmar que \lim _{x \rightarrow x_{0}} c p(x)=c p\left(x_{0}\right) ? Justifique.

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações:
  • p(x) e h(x) são polinômios com coeficientes reais (nota: h(x) não será usada na pergunta).
  • x_{0} é um número real fixo.
  • c é uma constante real.
    A pergunta é: é correto afirmar que
\lim_{x\to x_{0}} c\,p(x)=c\,p(x_{0})\\ ?
Ou seja, devemos dizer se o limite da função x\mapsto c\,p(x) quando x tende a x_{0} é igual ao número c\,p(x_{0}), e justificar a resposta.

Passo 2

Lembrete (definição usada): dizer que \lim_{x\to x_{0}} f(x)=L significa que para todo \varepsilon>0 existe \delta>0 tal que, sempre que 0<|x-x_{0}|<\delta, tem-se |f(x)-L|<\varepsilon.
Dizer que uma função f é contínua em x_{0} significa justamente que
\lim_{x\to x_{0}} f(x)=f(x_{0}),
ou seja, o limite existe e vale o valor da função.

Passo 3

Fato importante (e fácil de justificar): todo polinômio é contínuo em todo ponto real. Explicação curta e intuitiva:
  • A função identidade x\mapsto x é contínua.
  • Funções constantes são contínuas.
  • A soma e o produto de funções contínuas são contínuas.
  • Um polinômio p(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\dots+a_{0} é obtido somando constantes multiplicadas por potências de x; cada monômio x^{k} é produto repetido da função identidade (logo contínuo) e multiplicado por uma constante continua, portanto cada termo é contínuo; somando termos contínuos obtém-se uma função contínua.
    Portanto p é contínua em x_{0}, isto é,
\lim_{x\to x_{0}} p(x)=p(x_{0}).

Passo 4

Vamos provar a afirmação desejada separando os casos c=0 e c\neq 0.
Caso c=0: a função c\,p(x) é a função nula 0 para todo x. Logo
\lim_{x\to x_{0}} c\,p(x)=\lim_{x\to x_{0}} 0 = 0 = c\,p(x_{0}),
pois c\,p(x_{0})=0. Esse caso é trivial.

Passo 5

Caso c\neq 0: faremos uma prova \varepsilon- \delta direta usando a continuidade de p.
Seja \varepsilon>0. Como p é contínua em x_{0}, existe \delta>0 tal que, sempre que 0<|x-x_{0}|<\delta,
|p(x)-p(x_{0})|<\frac{\varepsilon}{|c|}.
Multiplicando essa desigualdade por |c| (que é positivo porque c\neq 0), obtemos
|c||p(x)-p(x_{0})|<\varepsilon.
Mas |c||p(x)-p(x_{0})|=|c\,p(x)-c\,p(x_{0})|. Portanto, para esse mesmo \delta, sempre que 0<|x-x_{0}|<\delta temos
|c\,p(x)-c\,p(x_{0})|<\varepsilon.
Isso é exactamente a definição de \lim_{x\to x_{0}} c\,p(x)=c\,p(x_{0}).

Passo 6

Conclusão: tanto no caso c=0 quanto no caso c\neq 0 a igualdade do limite vale. A demonstração usou que p é contínua (propriedade de polinômios) e um argumento \varepsilon- \delta simples para a multiplicação por constante.

Resposta

\displaystyle \lim_{x\to x_{0}} c\,p(x)=c\,p(x_{0})

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