Sejam
e
polinômios com coeficientes reais e
um número real.
Se
é uma constante real, é correto afirmar que
? Justifique.
Se
Passo 1
O enunciado nos dá as seguintes informações:
-
e são polinômios com coeficientes reais (nota: não será usada na pergunta). -
é um número real fixo. -
é uma constante real.
A pergunta é: é correto afirmar que
Ou seja, devemos dizer se o limite da função
quando
tende a
é igual ao número
, e justificar a resposta.
Passo 2
Lembrete (definição usada): dizer que
significa que para todo
existe
tal que, sempre que
, tem-se
.
Dizer que uma função é contínua em
significa justamente que
Dizer que uma função
ou seja, o limite existe e vale o valor da função.
Passo 3
Fato importante (e fácil de justificar): todo polinômio é contínuo em todo ponto real. Explicação curta e intuitiva:
- A função identidade
é contínua. - Funções constantes são contínuas.
- A soma e o produto de funções contínuas são contínuas.
- Um polinômio
é obtido somando constantes multiplicadas por potências de ; cada monômio é produto repetido da função identidade (logo contínuo) e multiplicado por uma constante continua, portanto cada termo é contínuo; somando termos contínuos obtém-se uma função contínua.
Portantoé contínua em , isto é,
Passo 4
Vamos provar a afirmação desejada separando os casos
e
.
Caso
: a função
é a função nula
para todo
. Logo
pois
. Esse caso é trivial.
Passo 5
Caso
: faremos uma prova
-
direta usando a continuidade de
.
Seja . Como
é contínua em
, existe
tal que, sempre que
,
Seja
Multiplicando essa desigualdade por
(que é positivo porque
), obtemos
Mas
. Portanto, para esse mesmo
, sempre que
temos
Isso é exactamente a definição de
.
Passo 6
Conclusão: tanto no caso
quanto no caso
a igualdade do limite vale. A demonstração usou que
é contínua (propriedade de polinômios) e um argumento
-
simples para a multiplicação por constante.