UNIVERSIDADE FEDERAL DE RONDÔNIA - UNIR Departamento Acadêmico de Matemática e Estatística
DAME - Campus Ji-Paraná
PRIMEIRA AVALIAÇÃO - Álgebra Linear 23 de outubro de 2024
NOTA:
8,0

Nome:

RA:

QUESTÕES

( 1, 5 ponto) Seja A=[ccc1 & -2 & 3 2 & -1 & 2 3 & 1 & 2]3 times 3 uma matriz quadrada de ordem 3 . Verificar se A é inversível e determinar a inversa de, pelo menos, duas formas distintas.

Passo 1

O enunciado dá a matriz quadrada de ordem 3
A = 1 & -2 & 3 2 & -1 & 2 3 & 1 & 2 ,
pede para verificar se A é inversível e, em caso afirmativo, calcular A^-1 por duas formas distintas. O conteúdo é determinante para checar invertibilidade, e depois podemos usar (i) adjunta/cofatores e (ii) eliminação de Gauss–Jordan para obter a inversa.

Passo 2

Para saber se A é inversível, calculamos seu determinante por expansão na primeira linha:
det(A) =1cdotdet!-1&21&2 -(-2)cdotdet!2&23&2 +3cdotdet!2&-13&1
Cada menor vale
det-1&21&2=-4, det2&23&2=-2, det2&-13&1=5,
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det(A)=1cdot(-4)-(-2)cdot(-2)+3cdot5=-4-4+15=7neq0
Como det(A)=7neq0, A é inversível.

Passo 3

Primeiro método: adjunta e cofatores. Calculamos a matriz dos cofatores C, em que
Cij=(-1)^i+jdet(Mij),
sendo Mij o menor de A obtido eliminando linha i e coluna j. Os cálculos dão
C= -4 & 2 & 5 7 & -7 & -7 -1 & 4 & 3
A adjunta é adj(A)=C^T, isto é
adj(A) = -4 & 7 & -1 2 & -7 & 4 5 & -7 & 3
Finalmente
A^-1=1det(A),adj(A) =17 -4 & 7 & -1 2 & -7 & 4 5 & -7 & 3

Passo 4

Segundo método: eliminação de Gauss–Jordan em l[Amid Ir]. Sintetizando os passos principais:
  1. Subtrair 2 vezes a linha 1 da linha 2 e 3 vezes a linha 1 da linha 3.
  2. Dividir a linha 2 pelo pivô e eliminar essa coluna nas outras linhas.
  3. Dividir a nova linha 3 pelo seu pivô e eliminar essa coluna nas linhas 1 e 2.
    No fim, obtém-se l[Imid A^-1r] com
A^-1 =17 -4 & 7 & -1 2 & -7 & 4 5 & -7 & 3 ,
coincidindo com o resultado pelo método dos cofatores.

Resposta

Como det(A)=7neq0, A é inversível, e
A^-1=17 -4 & 7 & -1 2 & -7 & 4 5 & -7 & 3

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