Sejam os pontos \mathrm{A}(1,3) e \mathrm{C}(2,5). Determine as coordenadas de um ponto B tal que B divida o segmento AC nas seguintes proporções:
\frac{\overline{A B}}{\overline{B C}}=\frac{1}{5} \quad

Passo 1

O enunciado dá os pontos A(1,3) e C(2,5) e pede um ponto B que divide o segmento AC internamente na razão
\frac{\overline{A B}}{\overline{B C}} = \frac{1}{5}.
O conteúdo é geometria analítica, mais precisamente a fórmula do ponto que divide internamente um segmento.

Passo 2

Na geometria analítica, se um ponto P divide internamente o segmento entre P_1(x_1,y_1) e P_2(x_2,y_2) na proporção
P_1P : PP_2 = m : n,
então as coordenadas de P são
P = \Bigl(\frac{n\,x_1 + m\,x_2}{m+n},\,\frac{n\,y_1 + m\,y_2}{m+n}\Bigr).

Passo 3

No nosso caso, P_1 = A, P_2 = C e queremos
\overline{A B}:\overline{B C} = 1:5,
logo m=1 e n=5.

Passo 4

Aplicando a fórmula com (x_1,y_1)=(1,3), (x_2,y_2)=(2,5), m=1 e n=5, obtemos
x_B = \frac{5\cdot1 + 1\cdot2}{5+1} = \frac{7}{6}, \quad y_B = \frac{5\cdot3 + 1\cdot5}{5+1} = \frac{20}{6} = \frac{10}{3}.

Resposta

As coordenadas de B são \bigl(\tfrac{7}{6},\,\tfrac{10}{3}\bigr).

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