Sejam
e
pontos no plano cartesiano.
Sabendo que
e o ponto médio entre
e
é
. Determine e esboce os pontos
e
no plano.
Sabendo que
Passo 1
Ok, vamos começar entendendo o que o problema nos dá e o que precisamos encontrar. Temos dois pontos no plano cartesiano:
- Ponto A com coordenadas
- Ponto B com coordenadas
Sabemos que:
-
(as coordenadas do ponto A são iguais) -
(a primeira coordenada do ponto B é o dobro da segunda) - O ponto médio entre A e B é
Nosso objetivo é determinar quais são os pontos A e B e esboçá-los no plano cartesiano.
Para resolver isso, vamos usar o conceito de ponto médio de um segmento de reta, que nos ajuda a relacionar as coordenadas dos pontos extremos com as coordenadas do ponto médio.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a fórmula do ponto médio. Se temos dois pontos
e
, o ponto médio
é dado por:
No nosso caso, sabemos que
. Então, podemos montar duas equações:
Passo 3
Agora, vamos usar as informações adicionais que temos:
Vamos usar a primeira informação para substituir
por
na equação (2):
Multiplicando ambos os lados por 2 para eliminar a fração:
Também, da segunda informação
, podemos substituir
na equação (1):
Multiplicando ambos os lados por 2:
Passo 4
Agora, temos um sistema de duas equações com duas incógnitas:
Vamos resolver esse sistema. Podemos subtrair a equação (3) da equação (4):
Agora que sabemos que
, podemos encontrar
usando a equação (3):
Lembrando que
, então:
E como
:
Passo 5
Agora temos todas as coordenadas:
- Ponto A:
- Ponto B:
Vamos verificar se o ponto médio está correto. Calculando o ponto médio entre
e
:
Então, realmente, o ponto médio é
, confirmando nossas respostas.
Resposta
Os pontos são
e
. No plano cartesiano, A está no ponto (2,2) e B no ponto (4,2), com o ponto médio C em (3,2).