Sejam A=(a1, a2) e B=(b1, b2) pontos no plano cartesiano.
Sabendo que a1=a2, b1=2 b2 e o ponto médio entre A e B é C=(3,2). Determine e esboce os pontos A e B no plano.

Passo 1

Ok, vamos começar entendendo o que o problema nos dá e o que precisamos encontrar. Temos dois pontos no plano cartesiano:
  • Ponto A com coordenadas A = (a1, a2)
  • Ponto B com coordenadas B = (b1, b2)
Sabemos que:
  • a1 = a2 (as coordenadas do ponto A são iguais)
  • b1 = 2b2 (a primeira coordenada do ponto B é o dobro da segunda)
  • O ponto médio entre A e B é C = (3, 2)
Nosso objetivo é determinar quais são os pontos A e B e esboçá-los no plano cartesiano.
Para resolver isso, vamos usar o conceito de ponto médio de um segmento de reta, que nos ajuda a relacionar as coordenadas dos pontos extremos com as coordenadas do ponto médio.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a fórmula do ponto médio. Se temos dois pontos A = (xA, yA) e B = (xB, yB) , o ponto médio C = (xC, yC) é dado por:
xC = xA + xB2
yC = yA + yB2
No nosso caso, sabemos que C = (3, 2) . Então, podemos montar duas equações:
a1 + b12 = 3 (1)
a2 + b22 = 2 (2)

Passo 3

Agora, vamos usar as informações adicionais que temos:
  1. a1 = a2
  2. b1 = 2b2
Vamos usar a primeira informação para substituir a2 por a1 na equação (2):
a1 + b22 = 2
Multiplicando ambos os lados por 2 para eliminar a fração:
a1 + b2 = 4 (3)
Também, da segunda informação b1 = 2b2 , podemos substituir b1 na equação (1):
a1 + 2b22 = 3
Multiplicando ambos os lados por 2:
a1 + 2b2 = 6 (4)

Passo 4

Agora, temos um sistema de duas equações com duas incógnitas:
a1 + b2 = 4 (3) a1 + 2b2 = 6 (4)
Vamos resolver esse sistema. Podemos subtrair a equação (3) da equação (4):
(a1 + 2b2) - (a1 + b2) = 6 - 4
a1 + 2b2 - a1 - b2 = 2
b2 = 2
Agora que sabemos que b2 = 2 , podemos encontrar a1 usando a equação (3):
a1 + 2 = 4
a1 = 2
Lembrando que a1 = a2 , então:
a2 = 2
E como b1 = 2b2 :
b1 = 2 times 2 = 4

Passo 5

Agora temos todas as coordenadas:
  • Ponto A: A = (2, 2)
  • Ponto B: B = (4, 2)
Vamos verificar se o ponto médio está correto. Calculando o ponto médio entre A = (2, 2) e B = (4, 2) :
xC = 2 + 42 = 3
yC = 2 + 22 = 2
Então, realmente, o ponto médio é C = (3, 2) , confirmando nossas respostas.

Resposta

Os pontos são A = (2, 2) e B = (4, 2) . No plano cartesiano, A está no ponto (2,2) e B no ponto (4,2), com o ponto médio C em (3,2).

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